Question

Usando as fórmulas de adição e subtração de arcos, calcule:

a) sen 15º

b) cos 165º

c) tg 75º​

Answer 1

O valor de sen(15) é √6/4 - √2/4; O valor de cos(165) é -√6/4 - √2/4; O valor de tg(75) é 2 + √3.

a) Observe que 15 = 45 - 30. Então, para calcularmos o valor do seno de 15º, utilizaremos o seno da diferença.

O seno da diferença é definido por:

• sen(a - b) = sen(a).cos(b) - sen(b).cos(a).

Sabendo que sen(30) = 1/2, sen(45) = cos(45) = √2/2 e cos(30) = √3/2, obtemos:

sen(45 - 30) = sen(45).cos(30) - sen(30).cos(45)

sen(15) = √2/2.√3/2 - 1/2.√2/2

sen(15) = √6/4 - √2/4.

b) Note que 165 = 135 + 30. Então, para calcularmos o valor do cosseno de 165º, utilizaremos o cosseno da soma.

O cosseno da soma é definido por:

• cos(a + b) = cos(a).cos(b) - sen(a).sen(b).

Sabendo que cos(135) = -√2/2, cos(30) = √3/2, sen(135) = √2/2 e sen(30) = 1/2, obtemos:

cos(135 + 30) = cos(135).cos(30) - sen(135).sen(30)

cos(165) = -√2/2.√3/2 - √2/2.1/2

cos(165) = -√6/4 - √2/4.

c) Temos que 75 = 30 + 45. Então, para calcularmos o valor da tangente de 75º, utilizaremos a tangente da soma.

A tangente da soma é definida por:

• $tg(a+b)=\frac{tg(a)+tg(b)}{1-tg(a).tg(b)}$.

Sabendo que tg(30) = √3/3 e tg(45) = 1, podemos concluir que:

$tg(30 + 45)=\frac{tg(30)+tg(45)}{1-tg(30).tg(45)}$

$tg(75)=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}+1}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}.1}$

$tg(75)=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}+1}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}$

tg(75) = 2 + √3.