Question

49)Desenvolva a expressão (n + 5)4
utilizando o binômio de Newton.​

Answer 1

Utilizando expansão binomial de Newton, temos que:

$(n+5)^4=n^4+20n^3+150n^2+500n+625$

Explicação passo-a-passo:

A formaula para expansão em binomios de Newton é dada por:

$(a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}{n \choose i}a^{n-i}b^{i}$

Onde a primeira parte é uma combinação, dada por:

${n \choose i}=\frac{n!}{i!(n-i)!}$

Assim basta substituir a e b pelos nossos termos e expandirmos esta somatória:

$(n+5)^4=\sum_{i=0}^{4}{4 \choose i}n^{4-i}5^{i}$

Agora basta irmos fazendo termo a termo variando o "i":

${4 \choose 0}n^{4-0}5^{0}=n^4$

${4 \choose 1}n^{4-1}5^{1}=4.n^3.5=20n^3$

${4 \choose 2}n^{4-2}5^{2}=6.n^2.25=150n^2$

${4 \choose 3}n^{4-3}5^{3}=4.n.125=500n$

${4 \choose 4}n^{4-4}5^{4}=625$

Assim somando todos os termos, temos nossa expansão completa:

$(n+5)^4=n^4+20n^3+150n^2+500n+625$