Question

SAbe-se que a soma de dois números pares resulta sempre em um número par. construa uma demonstração que prove que a soma de número par com um número ímpar resulta em um número ímpar​

Answer 1

✅ Tendo finalizado a demonstração, concluímos que a soma entre um número par e um número ímpar sempre resultará um número:

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \acute{I}mpar\:\:\:}}\end{gathered} }$

Uma vez que não foi definido o conjunto universo, utilizarei como conjunto universo o conjunto dos números inteiros, ou seja:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} \cup = \mathbb{Z}\end{gathered}$

Se sabemos que todo número par "p" pode ser escrito na forma:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}p = 2k,\:\:\:\forall k\in\mathbb{Z} \end{gathered}$

E, sabendo também que todo número ímpar "i" pode ser escrito na forma:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}i = 2k + 1,\:\:\:\forall k\in\mathbb{Z} \end{gathered}$

Definindo dois números - mais precisamente - um número par "p" e outro ímpar "i", tais que:

                      $\Large\begin{cases}p = 2k_{p}\\i = 2k_{i} + 1 \end{cases}$

Realizando a soma desses números, temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$       $\Large\displaystyle\begin{gathered}p + i = 2k_{p} + 2k_{i} + 1 \end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 2(k_{p} + k_{i}) + 1 \end{gathered}$

Chegamos à seguinte equação:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(II) \end{gathered}$     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}p + i = \underbrace{2(k_{p} + k_{i})}_{\bf Par} + 1 \end{gathered} }$

Observe que o primeiro temo do segundo membro da equação "II" representa um número par. Pois, o dobro de qualquer número sempre resulta em um número par. Então, adicionando-se este número par com a unidade, resulta em um número ímpar.

De fato, temos:

• Se os valores de "k" forem iguais:

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}k_{p} = k_{i} = k \end{gathered}$

        Se:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}k = 0 \end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}p + i = 2\cdot0 + 2\cdot0 + 1 \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 0 + 0 + 1 \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 1 \end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:p + i = 1 = impar \end{gathered}$

        Se:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}k = 1 \end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}p + i = 2\cdot1 + 2\cdot1 + 1 \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 2 + 2 + 1 \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 5 \end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:p + i = 5 = impar \end{gathered}$

• Se os valores de "k" forem diferentes:

        $\Large\begin{cases}k_{p} = 1\\k_{i} = 2 \end{cases}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}p + i = 2\cdot1 + 2\cdot2 + 1 \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 2 + 4 + 1 \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 7 \end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:p + i = 7 = impar \end{gathered}$

        $\Large\begin{cases}k_{p} = -2\\k_{i} = 3 \end{cases}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}p + i = 2\cdot(-2) + 2\cdot3 + 1 \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= -4 + 6 + 1 \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 3 \end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:p + i = 3 = impar \end{gathered}$

✅ Portanto, a soma entre um número par e um número ímpar sempre resultará um  número.

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\acute{I}mpar \end{gathered}$

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