Question

Me ajudem por favooor
Se sen ⁡x=7/25, and $0\ \textless \ x\ \textless \ \pi/2$, qual é cos⁡$(x-3\pi/2)$?

Answer 1

$\sin(x)=\frac{7}{25}\\{sin}^{2}(x)=\frac{49}{625}$

$1-\frac{49}{625}=\frac{625-49}{625} =\frac{576}{625}$

$\cos(x)=\sqrt{\frac{576}{625}}=\frac{24}{25}$

$\cos(x-\frac{3\pi}{2})\\=-\sin(x)=-\frac{7}{25}$

Answer 2

Resolução:

Nos foi dada a seguinte informação:

$\mathsf{sen(x)=\dfrac{7}{25}\quad\land\quad 0\,<\,x\,<\,\dfrac{\pi}{2}\qquad(i)}$

Com isso, deseja-se calcular o valor da seguinte expressão trigonométrica:

$\mathsf{cos\left(x-\dfrac{3\pi}{2}\right)=cos\Bigg[-\left(x-\dfrac{3\pi}{2}\right)\Bigg]=cos\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right),\ \forall\ x\ \in\ \mathbb{R}}$

Para calcular o valor da expressão acima, faz-se necessário aplicar uma das Identidades Trigonométricas do Arco Complementar, que por sua vez é dada por:

$\mathsf{cos(x)=sen\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right),\ \forall\ x\ \in\ \mathbb{R}}$

Portanto, a expressão trigonométrica pedida equivaler-se-á:

$\mathsf{cos\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)=sen\Bigg[\dfrac{\pi}{2}-\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)}\Bigg]}=\mathsf{sen\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{3\pi}{2}+x\right)\quad\Longleftrightarrow}$

$\mathsf{cos\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)=sen\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{3\pi}{2}+x\right)=sen\left(\dfrac{\pi-3\pi}{2}+x\right)\quad\Longleftrightarrow}$

$\mathsf{cos\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)=sen\left(-\dfrac{2\pi}{2}+x\right)=sen\left(-\dfrac{\diagup\!\!\!\!2\pi}{\diagup\!\!\!\!2}+x\right)\quad\Longleftrightarrow}$

$\mathsf{cos\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)=cos\left(x-\dfrac{3\pi}{2}\right)=sen(x-\pi)\quad\Longleftrightarrow}$

$\mathsf{cos\left(x-\dfrac{3\pi}{2}\right)=sen(x-\pi)\qquad(ii)}$

Para dar seguimento à resolução, também deve-se ter conhecimento de mais uma identidade trigonométrica famosa, sendo esta uma pequena variação de uma das Identidades Trigonométricas do Arco Suplementar. Tal variação (fórmula/equação) é dada através da seguinte igualdade:

$\mathsf{sen(x-\pi)=-\,sen(x),\ \forall\ x\ \in\ \mathbb{R}}$

De (i) sabe-se que o valor de sen(x) já é conhecido, logo a igualdade (ii), que equivale ao valor que queremos descobrir (resposta do exercício), tornar-se-á:

$\mathsf{cos\left(x-\dfrac{3\pi}{2}\right)=sen(x-\pi)=-\,sen(x)\quad\Longleftrightarrow}$

$\mathsf{cos\left(x-\dfrac{3\pi}{2}\right)=-\,sen(x)=-\dfrac{7}{25}\quad\Longleftrightarrow}$

$\mathsf{cos\left(x-\dfrac{3\pi}{2}\right)=-\dfrac{7}{25}\right)}$

Um grande abraço!