Question

Derive f(x)= x² · sen x · tg x

Answer 1

Resposta: 2x.sen(x).tg(x) + x².cos(x).tg(x) + x².sen(x).sec²(x)

Explicação passo-a-passo:

Primeiro, vou esclarecer o que cada símbolo significa:

1- f'(x) é a derivada de f(x)

2- x^n é a enésima potência de x

Segundo, listarei as propriedades de derivada que estarei usando para resolver essa questão:

P1- se f(x) = x^n , logo f'(x) = n.x^(n-1)

P2- sejam g(x) e h(x) duas funções quaisquer de variável x, temos:

se f(x) = g(x).h(x) , logo f'(x) = g'(x).h(x) + g(x).h'(x)

P3- se f(x) = sen(x), logo f'(x) = cos(x)

P4- se f(x) = tg(x), logo f'(x) = sec²(x)

(Lembrando que: sec(x) = 1/cos(x))

Para começar, temos que transformar essa equação em uma multiplicação de 2 termos, para isso, chamaremos sen(x).tg(x) de y. Então temos:

•sen(x).tg(x) = y

•f(x) = x².sen(x).tg(x) = x².y

Aplicamos a propriedade de derivada para multiplicação

•f'(x) = x²'.y + x².y' => f'(x) = 2x.y + x².y'

Agora substituindo y por sen(x).tg(x),

ficamos com:

•f'(x) = 2x.(sen(x).tg(x)) + x².(sen(x).tg(x))'

Agora, derivamos sen(x).tg(x), no segundo termo da soma.

• f'(x) = 2x.sen(x).tg(x) + x².(sen(x)'.tg(x) + sen(x).tg(x)') = 2x.sen(x).tg(x) + x².(cos(x).tg(x) + sen(x).sec²(x))

Aplicando a propriedade distributiva, temos:

f'(x) = 2x.sen(x).tg(x) + x².cos(x).tg(x) + x².sen(x).sec²(x)

(A única propriedade de derivada que não é "básica" é a P4 (tg(x)' = sec²(x)), se quiser, posso mandar a prova dessa derivada.)

Qualquer erro ou sugestão, pf avisem.

Espero ter ajudado!!