Question

*URGENTE* Identifique os zeros da função:
f(x)= $\frac{x^2 +1}{x^2 -1}$
a) 1
b) -1
c) 1 e -1
d) Não há zeros.

Answer 1

Resposta:

f(x)=(x²+1)/(x²-1) =0     ...x²-1≠0  ==>x≠±1

x²+1=0  ==> x=±√-1=±i   , portanto, não existe para números Reais

Letra D

Answer 2

Antes de tudo, note que é imprescindível a realização de uma análise que objetiva a determinação do domínio da seguinte função racional:

$\mathsf{f\big(x\big)=\dfrac{x^2+1}{x^2-1}}$

Baseado nisso, obtém-se as seguintes restrições para a sua variável real x:

$\mathsf{\qquad\exists~~\dfrac{x^2+1}{x^2-1}=f\big(x\big)}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad\, x^2-1\,\neq\, 0}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad\, x^2\,\neq\,1}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\ \ \, \sqrt{x^2}\,\neq\,\sqrt{1}}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad |x|\,\neq\,1}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad\, x\,\neq\,\pm\, 1}$

Consequentemente, o domínio D(f) da função f(x) é o seguinte conjunto:

$\mathsf{D\big(f\big)=\{x\ \in\ \mathbb{R}:\, x\,\neq\,\pm\, 1\}}$

Postas todas as condições acima, podemos dar seguimento a esta resolução. O exercício solicita a determinação dos zeros reais (raízes reais), caso existam, da função f(x). Sendo assim, torna-se indispensável enunciar, em linguagem matemática, a seguinte condição referente às raízes de f(x):

$\mathsf{x_{0}\ \'e\ zero\ de\ f\big(x\big)~ \Longleftrightarrow~f\big(x_{0}\big)=0}$

Logo, para obter-se todas as raízes reais (ou verificar se existem) da função f(x), basta igualar sua respectiva lei de formação a 0 (zero). Procedendo tal como descrito anteriormente, obteremos:

$\mathsf{\qquad\quad \,f\big(x\big)=0}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \dfrac{x^2+1}{x^2-1}=0}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad~ x^2+1=0\qquad\ \big(pois~x\,\neq\,\pm\,1\big)}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad\, x^2=-1}$

Observe que a potência x² é não negativa (maior ou igual a zero) para qualquer que seja o valor atribuído à variável real x, ou seja:

$\mathsf{\qquad~~~\,x^2\,\geq\,0,\ \forall\ x\ \in\ \mathbb{R}}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x^2\,\neq\,-1,\ \forall\ x\ \in\ \mathbb{R}}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x^2\,\neq\,-1,\ \forall\ x\ \in\ \mathbb{R}\setminus\{-1,1\}=D\big(f\big)}$

Baseado nisso, chega-se à conclusão abaixo:

$\mathsf{\qquad~~~ x^2\,\neq\,-1,\ \forall\ x\ \in\ D\big(f\big)}\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad \nexists~\,x\ \in\ D\big(f\big)\subset\,\mathbb{R}:\, f\big(x\big)=0}\\\\ \mathsf{\!\Longleftrightarrow\quad f\big(x\big)\ n\~ao\ possui\ nenhum\ zero\ real.}$

Opção correta: d).

Um grande abraço!