três pontos não alinhados determinam um plano ou seja, três pontos não colineares são coplanares e é único o plano
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Resposta:
1. Introdução À Geometria Espacial
1.1. Ponto
Eventualmente já trabalhamos com figuras tais como: o círculo, o ponto e o quadrado.
Em figuras como essas, podemos localizar pontos.
Por exemplo:
os centro do círculo: o ponto O
os vértices do triângulo: os pontos A, B, e C
os vértices do quadrado: os pontos M, N, P e Q.
1.2. Reta
Com as mesmas figuras acima, podemos identificar e representar retas, por exemplo:
Observemos que:
1) Pelo centro do círculo passam tantas retas quantas quisermos e dizemos que por esse ponto passam infinitas retas.
Pelo ponto o passam infinitas retas s, t, u, v, x, ...
Por dois vértices do triângulo passa uma e uma só reta e dizemos que dois pontos distintos determinam uma única reta.
Os pontos B e C determinam a reta BC. A reta BC não é \u201climitada\u201d, ela não \u201cpára\u201d em B, nem em C, nem em ponto algum.
O ponto A não está na reta BC, isto é, o ponto A está fora da reta BC, ele não pertence a esta reta.
3) O ponto R, centro do quadrado, está na reta MP, ou seja, M, R e P estão numa mesma reta M, R e P estão alinhados, isto é, M, R e P são colineares.
1.3. Semi-reta
Considerando o ponto R da reta MP, ele divide essa reta em duas semi retas: a semi-reta de origem em R e que passa por M e a semi-reta com origem em R e que passa por P. Estas duas semi-retas, RM e RP, são semi retas opostas.
Até agora apresentamos uma série de conceitos tendo como modelos o círculo, o triângulo e o quadrado, que são figuras planas, mas, como vamos estudar a Geometria Espacial, vejamos como exemplo uma figura espacial: o cubo. Temos idéia dele através da experiência, dados, cubos de gelo, caixas, etc.
Notemos que no cubo da figura acima:
1) temos pontos: por exemplo, os vértices A, B, C, D, E, F, G, e H.
2) podemos idealizar e representar retas: por exemplo, retas que contêm as arestas do cubo, tais como AB, BC, BG, etc.
1.4. Plano
Agora, as faces do cubo como por exemplo o quadrado ABCD, são figuras planas. Observe o plano da face ABCD indicado na figura abaixo. É o plano (.
O plano ( é o plano da face ABCD. Observe que ele não é \u201climitado, não \u201cpára\u201d onde a figura termina.
Notemos que:
1) No plano ( há pontos.
2) Fora do plano ( também existem pontos.
3) Três quaisquer dos vértices do cubo estão numa mesma reta, mas existe um plano ao qual eles pertencem.
Dizemos que três pontos não colineares determinam um plano.
Por exemplo, A, B e C determinam (.
O ponto D está nesse plano e dizemos que A, B, C e D são pontos coplanares, enquanto que o ponto E não está em (, logo, A, B, C e E não são coplanares.
Ainda , a reta AB, que tem os pontos A e B em ( em está contida em (, isto é, qualquer ponto dessa reta pertence ao plano (. O mesmo ocorre com as retas BC, CD e DA.
Dizemos que se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então ela está contida no plano.
Por outro lado, há retas como as retas EF e CH que estão em (. Elas não estão contidas em (.
Retas como AB, BC, CD e DA, que estão num mesmo plano, são retas coplanares.
1.5. Semiplano
Considerando o quadrado ABCD no plano ( e a reta BD, notamos que o ponto A está de um lado dessa reta, enquanto o ponto C está do outro lado dessa reta. Cada um desses \u201clados\u201d é um semiplano.
Assim, a reta BD do plano ( divide esse plano em dois semiplanos: o semiplano de origem na reta BD e que contém o ponto A (semiplano (\u2019) e o semiplano na reta BD e que contém o ponto C (semiplano (\u201d). Esses dois semiplanos são opostos.
1.6. Semi-espaço
O espaço é o conjunto de todos os pontos.
Vamos ver, com o auxílio de um cubo, como o espaço é dividido.
Considerando o cubo ABCDEFGH e sendo ( o plano da face ABCD, observamos que os pontos E, F, G, H estão de um mesmo \u201clado\u201d de ( e que do outro \u201clado\u201d de ( não existe ponto do cubo. Cada um desses \u201clados\u201d é um semi-espaço.
Assim, o plano ( divide o espaço em dois semi-espaços: o semi-espaço de origem em ( que não contém os pontos citados (semi-espaço (\u2019) e o semi espaço de origem em ( que não contém os pontos citados (semi-espaço (\u201d). Esses semi-espaços são opostos.
2. Noções E Proposições Iniciais
O ponto, a reta e o plano são nossas noções iniciais.
Necessitamos formar idéia deles e aprendermos a representá-los.
Precisamos também entender, aceitar e saber representar certas propriedades que o ponto, a reta e o plano possuem. Essas propriedades, que seguem com destaque, são nossas proposições iniciais.
Uma reta que possui dois pontos distintos num plano está nesse plano.
Isso quer dizer que se uma reta tem dois pontos distintos num plano, todos os seus pontos pertencem ao plano (ela está contida no plano).
Por um ponto passa uma única reta paralela a uma reta dada.
Com isso, dado um ponto P fora de uma reta r, por P podemos traçar (construir) uma e uma só reta paralela a r. Se o ponto P pertence a r, a paralela é a própria reta r.
Espero ter ajudado!!!
Resposta:
20
Explicação:
Como não existem três pontos alinhados entre os pontos A, B, C, D e E e, além disso, o ponto V não pertence ao plano α, a quantidade de planos determinada por esses seis pontos é dada pela combinação de 6 elementos tomados 3 a 3, ou seja:
