Question

como resolver a seguinte equação:
$\frac{x!}{3!(x - 3)!} - \frac{x!}{2!(x - 2)!} = 0$​

Answer 1

Resposta:

x = 5

Explicação passo-a-passo:  

 

x = 0 Não serve

x - 1 = 0

x = 1 Não serve

x - 5 = 0

x = 5 Serve

$\frac{x!}{3!(x-3)!}-\frac{x!}{2!(x-2)!}=0\\\\\frac{x\\\\\\\\(x-1)(x-2)(x-3)!}{6(x-3)!}-\frac{x(x-1)(x-2)!}{2(x-2)!}=0\\\\\frac{x(x-1)(x-2)}{6}-\frac{x(x-1)}{2}=0\\\\x(x-1)(x-2)-3x(x-1)=0\\\\x(x-1)[x-2-3]=0\\\\x(x-1)(x-5)=0$

Answer 2

Resposta:

$\boxed{\boxed{\mathsf{x = 5}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá usuário @Ernestoks, é notório que essa questão trata sobre fatorial, portanto devemos conhecer algumas propriedades, primeiramente saber o intervalo para qual as soluções serão definidas, sabemos que o fatorial de um número n!, tem como domínio $\mathsf{\forall ~ n \in \mathbb{N} ~ | ~n \geqslant 0}$, portanto, observando o enunciado teremos que,

$\begin{cases} \mathsf{x \geqslant 0} \\ \mathsf{x - 2 \geqslant 0} \\ \mathsf{x - 3 \geqslant 0} \end{cases}$

Efectuando a intersecção concluímos o segundo,

$\mathsf{x \geqslant 3 ~~ \Rightarrow x \in [3 ; + \infty[}$

Agora, resolvendo a equação teremos que,

$\dfrac{x!}{3!(x-3)!} - \dfrac{x!}{2!(x -2)!} = 0$

$\Longleftrightarrow \dfrac{x!}{6(x-3)!} - \dfrac{x!}{2(x -2)!} = 0$

Observe o numerador, podemos desenvolver os fatoriais até encontrar uma expressão idêntica ao denominador para podermos eliminar o fatorial, matematicamente,

$\Longleftrightarrow \dfrac{x \green{(x - 1)(x - 2)(x - 3)!}}{6(x-3)!} - \dfrac{x \green{(x -1)(x-2)!}}{2(x -2)!} = 0$

Portanto, podemos agora simplificar a expressões semelhantes,

$\Longleftrightarrow \dfrac{x \green{(x - 1)(x - 2)\cancel{(x - 3)!}}}{6\cancel{(x-3)!}} - \dfrac{x \green{(x -1)\cancel{(x-2)!}}}{2\cancel{(x -2)!}} = 0$

$\\ \Longleftrightarrow \dfrac{x(x -1)(x -2)}{6} - \dfrac{x(x-1)}{2} = 0$

$\\ \Longleftrightarrow \dfrac{x(x -1)(x -2) - 3x(x-1)}{6} = 0$

$\\ \Longleftrightarrow {x(x -1)\red{(x -2)} - \red{3}x(x-1)} = 6 \cdot 0$

Colocando em evidência o factor comum, neste caso $\green{x(x -1)}$, ficaremos com o seguinte,

$\Longleftrightarrow x(x-1) \big[\red{(x - 2) - 3} \big] = 0$

$\\ \Longleftrightarrow x(x-1)\red{(x -5)} = 0$

Deste modo, anulando o produto teremos,

$\begin{cases} x = 0 \\ x -1 = 0 \\ \red{x -5 = 0} \end{cases}$

$\begin{cases} x = 0 ~~ \mathsf{\notin [3; + \infty[} \\ \\ x = 1 ~~ \mathsf{\notin [3; + \infty[} \\ \\ \red{x = 5} ~~ \mathsf{\in [3; + \infty[} \end{cases}$

Portanto, a ÚNICA solução é 5 mesmo, uma vez que 0 e 1 NÃO pertencem ao intervalo definido.

$\boxed{\boxed{\mathsf{x = 5}}}}$

Espero ter colaborado!)