Question

Determinar a derivada da função y= f(x) = (arcsen x)²

Answer 1

Resposta: 2.arcsenx/√(1-x^2)

Explicação passo-a-passo: Seja a função f(x) = (arcsenx)²

Para derivá-la, perceba que podemos chamar u = arcsenx e derivar a função resultante pela regra da cadeia.

[(arcsenx)²]' =

[u²]' =

2.u.u' =

2.arcsenx.(arcsenx)' [Equação principal]

Agora nosso problema se reduziu a derivar arcsenx. Para isso, podemos utilizar a derivação implícita numa função equivalente, observe:

y = arcsenx <=> sen(y) = x [Equação 1]

Observe que, para a função acima, Domínio: x ∈ [-1,1], Imagem: y ∈ [-pi/2, pi/2].

Derivando implicitamente a equação 1 em relação a x:

sen(y) = x

y'.cos(y) = 1

y' = 1/cos(y) [Equação 2]

Note que podemos reescrever cos(y) como:

cos²(y) + sen²(y) = 1

cos²(y) = 1 - sen²(y)

cos(y) = +/- √(1-sen²(y))

Porém, o cos(y) é positivo para qualquer valor de y na imagem entre [-pi/2 e pi/2]. Logo,

cos(y) = √(1-sen²(y)) [Equação 3]

Pela equação 1, elevamos ambos os membros ao quadrado:

sen(y) = x

sen²(y) = x²

Substituindo esse resultado na equação 3:

cos(y) = √(1-sen²(y))

cos(y) = √(1-x²)

Logo, na equação 2:

y' = 1/√(1-x²)

Como definimos que y é arcsenx, então acabamos de encontrar sua derivada.

Finalmente, substituímos esse valor na equação principal:

$\boxed{f'(x) = \frac{2.arcsenx}{\sqrt{(1-x^2)}}}$