Question

em uma corrida , um pai tem metade da energia cinetica do filho , que tem a metade da massa do pai. aumentado sua velocidade em 1,0m/s, o pai passa a ter a mesma energia cinetica do filho . quais sao os modulos daas velocidades iniciais do pai e do filho

Answer 1

Resposta:

Velocidade do filho: $v_f = \frac{2\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$

Velocidade do pai: $v_p = \frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$

Explicação:

A energia cinética do pai é:

$T_p = \frac{1}{2}m_pv_p^2$                         Eq(1)

A energia cinética do filho é:

$T_f = \frac{1}{2}m_fv_f^2$                         Eq(2)

A energia cinética do pai é metade da energia cinética do filho:

$T_p = \frac{T_f}{2}$                                Eq(3)

A massa do filho é métade da massa do pai:

$m_f = \frac{m_p}{2}$                               Eq(4)

Aumentando sua velocidade em 1m/s a energia cinética do pai passa a ser igual a energia cinética do filho:

$T_p' = \frac{1}{2}m_p(v_p+1)^2 = T_f$        Eq(5)

Agora passemos aos cálculos

Substitui a Eq(4) na Eq(2):

$T_f = \frac{1}{4}m_pv_f^2$                           Eq(6)

Substitui a Eq(1) e a Eq(6) na Eq(3):

$\frac{1}{2}m_pv_p^2 = \frac{1}{8}m_pv_f^2$                     Eq(7)

Simplifique a Eq(7) e tire a raiz quadrada:

$v_p^2 = \frac{1}{4}v_f^2$  

$v_p = \frac{1}{2}v_f$                                  Eq(8)

Agora substitua a Eq(6) na Eq(5):

$\frac{1}{2}m_p(v_p+1)^2 = \frac{1}{4}m_pv_f^2$            Eq(9)

Simplifique a Eq(9) e tire a raiz quadrada:

$(v_p+1)^2 = \frac{1}{2}v_f^2$

$v_p + 1 = \frac{1}{\sqrt{2}}v_f$                          Eq(10)

A Eq(8) junto com a Eq(10) forma um sistema linear de duas equações com duas incógnitas:

$\left \{ {{v_p = \frac{1}{2}v_f} \atop {v_p+1 = \frac{1}{\sqrt{2}}v_f}} \right.$                              Eq(11)

Resolvendo o sistema Eq(11) para a velocidade do filho, encontraremos que:

$\frac{1}{\sqrt{2}}v_f - \frac{1}{2}v_f = v_p + 1 - v_p = 1\\v_f(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}) = 1$

Finalmente, a velocidade do filho é:

$v_f = \frac{2\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$                                Eq(12)

Por fim, basta usar qualquer uma das duas equações da Eq(11) para achar a velocidade do pai, usando a primeira que é a mais simples, temos que:

$v_p = \frac{1}{2}\frac{2\sqrt{2}}{(2-\sqrt{2})}$

$v_p = \frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$                                 Eq(13)