Question

(IME)
Em uma progressão aritmética crescente, a soma de três termos consecutivos é S1 e a soma de seus quadrados é S2. Sabe-se que os dois maiores desses três termos são raízes da equação x² − S1x + (S2 - 1/2) = 0. A razão desta PA é
(A) 1/6
(B) √6/6
(C) √6
(D) √6/3
(E) 1

Answer 1

Resposta:

a1=a-r ;  a2=a  ;  a3=a+r

S1 = (a-r)+a+(a+r) =3a

S2=(a-r)²+a²+(a+r)²=a²-2ar+r²+a²+a²+2ar+r² =3a²+2r²

Sabemos que P(x)=ax²+bx+c=a*(x-x')*(x-x'')

x² − S1x + (S2 - 1/2) = (x-a)*(x-(a+r))

x² − 3a*x + (3a²+2r² - 1/2) = x²-x*(a+r)-ax+a*(a+r)

x² − 3a*x + (3a²+2r² - 1/2) = x²-x*(2a+r)+a*(a+r)

-3a*x=-x*(2a+r) ==>3ax=2ax+r*x ==>3a-2a=r  ==>a=r  (i)

3a²+2r² - 1/2 =a*(a+r)

3a²+2r² - 1/2 =a²+a*r

2a²+2r² - 1/2=a*r   (ii)

(i)  em (ii)

2r²+2r²-1/2=r²  

3r²=1/2

r²=1/6

r=±√(1/6)=±√6/6   , com PA é crescente  (r>0), ==>r = √6/6

Letra B