Question

Na figura ao lado, o triangulo MAR é equilatero, com seus lados medindo 2 cm. Os dois arcos de
circunferencia têm centro no vértice A e um deles tangencia o lado RM.

a) Calcule a medida da altura AB do triangulo MAR

b) Qual é a área do triangulo MAR?
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c) Determine a área da região da figura pintada de:
l. verde:
II. rosa;
Il. azul

Answer 1

Podemos afirmar então que respectivamente, teremos a) AB = √3cm ; b) Sa = √3 = π/2 cm² ; c)  Sv = π/6 cm² ; Sr = π/3 cm² e Sa = √3 = π/2 cm².

Vamos aos dados/resoluções:  

É de conhecimento público que as áreas das regiões pintadas de verde,rosa e azul, serão, respectivamente: Sv = π/6 cm² ; Sr = π/3 cm² e Sa = √3 - π/2 cm2.  

PS: como o triângulo é equilátero, então o setor verde terá 60º.

A área de um setor é calculada pela seguinte fórmula : S = aπr² / 360.  

Já que o raio do setor é igual a 1cm, logo a área da região verde é igual a:  

Sv = 60.1². π / 360.

Sv = π/6 cm².

Para calcular a área da região rosa, temos que ter em mente que essa área é igual á área do setor maior - a área do setor verde.  

Com isso, o triângulo ABR será retangular. Possuindo Ar = 2cm e Br = 1, constataremos que a altura do triângulo equilátero divide a base ao meio.

Pelo Teorema de Pitágoras, veremos que:  

2² = 1² + AB² ;  

4 - 1 = AB² ;  

AB = √3cm.

Portanto a área da região rosa é:  

Sr = 60 . (√3)² . π / 360 - π/6 ;

Sr = π/2 - π/6 ;  

Sr = π/3 cm².

Finalizando então, a área da região em azul corresponderá à área do triângulo - as duas que achamos. A área do triângulo equilátero é : S = t² √3/4 ;  

Sa = 2²√3/4 - π/6 - π/3 ;  

Sa = √3 = π/2 cm².

espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)