Question

determine o menor numero natural N que ao se dividido por 10 deixa resto 9; ao ser dividido por 9, deixa resto 8 ao ser dividido por 8 deixa resto 7... ; e, ao ser dividido por 2, deixa resto 1 descubra o valor de N


como o calculo por favor.

Answer 1

O valor de N equivale a 2 519.

Explicação passo-a-passo:

Afirmação: Sejam dois números inteiros positivos n, m. Então n dividido por m deixa resto m − 1 se, e somente se, n + 1 é múltiplo de m.

De fato,

n dividido por m deixa resto m − 1

⇔   n = m · q + (m − 1),   para algum q inteiro.

⇔   n + 1 = m · q + m

⇔   n + 1 = m · (q + 1)

⇔   n + 1 é múltiplo de m.

Sendo assim, segue que se

• n dividido por 10 deixa resto 9,
• n dividido por 9 deixa resto 8,
• n dividido por 8 deixa resto 7,
• n dividido por 7 deixa resto 6,
• n dividido por 6 deixa resto 5,
• n dividido por 5 deixa resto 4,
• n dividido por 4 deixa resto 3,
• n dividido por 3 deixa resto 2, e
• n dividido por 2 deixa resto 1,

então, n + 1 é simultaneamente múltiplo de 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 e 2.

Portanto, n + 1 é múltiplo de mmc(10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2) = 2520:

⇔   n + 1 = 2520 · k

⇔   n = 2 520 · k − 1

com k inteiro positivo.

Para k = 1, encontramos o menor natural com as propriedades do enunciado:

   N = 2 520 · 1 − 1 = 2 519