Respostas
Repare que para n ∈ N (n ≥ 5), n! é múltiplo de 10.Veja:
5!= 5*4*3*2*1 = 10 * 12
6! = 6*5*4*3*2 = 10 * 72
7! = 7*6! = 10*7*72
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Logo, a expressão 5!-...+999! resultará em um número com unidade igual a zero por ser múltiplo de dez.A unidade de 1!-2!+3!-4! é nove (cálculos abaixo).
1!-2!+3!-4! = 1-2+6-24 = 7-26 = -19
Daí, 1!-2!+3!-4!+5!-...+999! resume-se na soma entre -19 e um múltiplo de 10 bem maior que -19.Portanto,o resultado tem unidade igual a 1 <--- resposta.
Para verificar que de fato a resposta é um,basta verificar que a soma entre um número negativo de unidade 9 e outro de unidade zero (sendo,pois,múltiplo de dez) resulta em um valor de unidade unitária. Abaixo seguem alguns exemplos para tal.
10-9 = 1
20-9 = 11
20-19 = 1
400-199 = 201
1000 - 529 = 471
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