Question

(EsFAO) Se "n" é um número real e positivo, o valor de $\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1 } -n}$
é:
a) um valor entre "n" e "2n"
b) um valor entre $\frac{n}{2}$ e "n"
c) um valor entre 0 e "n"
d) um valor que diminui a medida que "n" cresce
e) maior que "2n" - Gabarito.

Obs: Existe mais de um método de realizar essa questão ?

Answer 1

vamos racionalizar a fração para realizar uma inferência sobre os valores reais de n:

$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+1}-n}.\frac{{\sqrt{{n}^{2}+1}+n}{{\sqrt{{n}^{2}+1}+n}$

$\frac{{\sqrt{{n}^{2}+1}+n}{{\sqrt{{n}^{2}+1}}^{2}-{n}^{2}}$

$\frac{\sqrt{{n}^{2}+1}+n}{\cancel{{n}^{2}}+1-\cancel{{n}^{2}}}$

$\frac{\sqrt{{n}^{2}+1}+n}{1}=\sqrt{{n}^{2}+1}+n$

vamos testar as hipóteses:

a)

$n<\sqrt{{n}^{2}+1}+n<2n$

testemos este valor para n=1, pois 1 é real e positivo.

$1<\sqrt{{1}^{2}+1}+1=\sqrt{2}+1<2.1$ (absurdo)!

b)

$n<\sqrt{{n}^{2}+1}+n<\frac{n}{2}$ é um absurdo pois já demonstramos que a expresão supera 2n e aqui está dizendo que a expressão é inferior a n/2. portanto é falsa.

c)

a expressão é positiva porém supera n e aqui o que está e afirmando é o contrário.

d) se n cresce a expressão aumenta e não o contrário.

e) conforme disse no início já demonstramos que a expressão supera 2n portanto essa é a alternativa correta.