Question

Quantas raízes reais possui a equação 2cos(x-1) = 2x^4 - 8x³ + 9x² - 2x + 1?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) infinitas

Answer 1

Resposta:

2cos(x-1) = 2x^4 - 8x³ + 9x² - 2x + 1

g(x)=2cos(x-1)  

g(x)máx =2

g(x)mín=-2

f(x)= 2x^4 - 8x³ + 9x² - 2x + 1

f'(x)=8x³-24x²+18x-2=0

por observação x =1 é uma raiz, diminuindo um grau f'(x) , utilizando Ruffini

    |  8   |   -24 |   18  |   -2

1    |  8   |   -16 |    2  |    0

8x²-16x+2=0

x''=1-√3/2

x'''=1+√3/2

f''(x)=24x²-48x+18

f''(1)=24x²-48x+18<0  ..ponto de máximo

f''(1-√3/2)=24*(1-√3/2)²-48*(1-√3/2)+18>0 ponto de mínimo

f''(1+√3/2)=24*(1+√3/2)²-48*(1+√3/2)+18 >0 ponto de mínimo

Pontos críticos de f(x) ==> (1,2) ; [(1-√3/2) , 7/8] ; [(1+√3/2) , 7/8]  

lim f'(x) --> -∞ < 0 ==>decrescente (-∞ , (1-√3/2)

lim f'(x) --> +∞ > 0 ==>crescente ((1+√3/2) , ∞)

g(1-√3/2)>f(1-√3/2)  , g(1+√3/2)>f(1+√3/2) e g(1)=f(1)

As curvas g(x) e f(x) se encontram em três pontos , portanto,

são 3 raízes Reais

Letra D