Question

1) Considere os conjuntos A = ∅ e B = {∅}.
(a1) Determine o conjunto de partes de A e o conjunto de partes de B, P(A) e P(B) respectivamente. Justifique.

(a2) Verifique se cada uma das afirmações:
{∅} ∈ P(A) e {∅} ∈ P(B)
é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira prove, se for falsa justifique.

Answer 1

O conjunto das partes de A e B são P(A) = {∅} e P(B) = {∅, {∅}}; A afirmação {∅} ∈ P(A) é falsa e a afirmação {∅} ∈ P(B) é verdadeira.

1. (a1) Considere que um determinado conjunto possui n elementos. A quantidade de subconjuntos desse conjunto é igual a 2ⁿ.

O conjunto A é o conjunto vazio, ou seja, ele não possui elementos. Sendo assim, o conjunto P(A) possui 2⁰ = 1 elemento.

Ou seja, P(A) = {∅}.

O conjunto B possui um elemento. Então, P(B) possui 2¹ = 2 elementos. Ou seja, P(B) = {∅, {∅}}.

(a2) Perceba que {∅} não é um elemento do conjunto P(A). Portanto, a afirmativa {∅} ∈ P(A) é falsa.

Entretanto, o elemento {∅} pertence ao conjunto P(B). Logo, a afirmativa {∅} ∈ P(B) é verdadeira.