Question

Observe a sequência numérica abaixo

2 5 10 17 26 .... n

Qual é a expressão que representa o número que ocupa a posição n da sequência numérica?

A) 2n + 1
B)3n - 1
C) n² + 1
D) 3n² - n
E) 2n² - 3

Answer 1

A expressão que representa o número que ocupa a posição n da sequência numérica é n² + 1.

Observe que:

5 - 2 = 3;

10 - 5 = 5;

17 - 10 = 7;

26 - 17 = 9;

E assim por diante.

Note que a sequência (3, 5, 7, 9, ...) é uma progressão aritmética. Então, a sequência (2, 5, 10, 17, 26, ..., n) é uma progressão aritmética de segunda ordem.

Para determinarmos o termo geral da sequência (2, 5, 10, 17, 26, ..., n), precisamos calcular o termo aₙ₋₁ da sequência (3, 5, 7, 9, ...).

Sendo assim, temos que:

aₙ₋₁ = 3 + (n - 1 - 1).2

aₙ₋₁ = 3 + 2n - 4

aₙ₋₁ = 2n - 1.

Agora, precisamos calcular a soma dos n - 1 termos da sequência (3, 5, 7, 9, ...):

Sₙ₋₁ = (3 + 2(n - 1) + 1).(n - 1)/2

Sₙ₋₁ = (3 + 2n - 2 + 1).(n - 1)/2

Sₙ₋₁ = (2 + 2n).(n - 1)/2

Sₙ₋₁ = n² - 1.

O termo geral da sequência inicial é dado por:

aₙ = a₁ (primeira ordem) + Sₙ₋₁ (segunda ordem)

aₙ = 2 + n² - 1

aₙ = n² + 1.