Question

um dos fatores de x^4+4 é:

Answer 1

Utilizando variaveis complexas para encontrar raízes, temos que um dos fatores desta equação é (x - 1 - i).

Explicação passo-a-passo:

Para resolvermos esta questõa vamos precisar usar variaveis complexas, pois precisamos encontrar as raízes desta equação:

$x^4=-4$

E para isso vamos chamar este número x de um variavel complexa e escre-la como forma polar complexa, com raio R e angulo θ:

$x=R.e^{i.\theta}$

Substituindo esse ansatz na nossa equação, temos que:

$(R.e^{i.\theta})^4=-4$

$R^4.e^{i.4\theta}=-4$

Assim separando as partes em raio e angulo, temos que:

$R^4=4$

$R=4^{\frac{1}{4}}$

$R=\sqrt{2}$

E a parte angular:

$e^{i.4\theta}=-1$

$4\theta=\pi rad$

$\theta=\frac{\pi}{4} rad$

Assim temos o angulo e o raio desta solução, ou seja:

$x=\sqrt{2}.e^{i.\frac{\pi}{4}}$

Escrevendo a exponencial complexa em forma de cosseno seno, temos que:

$e^{i.\frac{\pi}{4}}=cos(\frac{\pi}{4})+i.sen(\frac{\pi}{4})$

E substituindo os cossenos e senos por seus valores tabelados:

$e^{i.\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}+i.\frac{\sqrt{2}}{2}$

E assim nossa solução fica:

$x=\sqrt{2}.e^{i.\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+i.\frac{\sqrt{2}}{2})$

$x=(\frac{2}{2}+i.\frac{2}{2})$

$x=1+i$

Assim temos que uma das raízes desta equação é 1 + i, assim como fatores podemos ser escrito da forma:

$(x-x_0)$

Onde X0 é uma raíz, então um dos fatores desta equação é:

$(x-(1+i))$

$(x-1-i)$

Assim um dos fatores desta equação é (x - 1 - i).