Question

Ache o valor do produto

(1 - 1/4)(1 - 1/9)(1 - 1/16) ... (1 - 1/225)

Answer 1

(1 - (1/2)^2) . (1 - (1/3)^2) . (1 - (1/4)^2) ... (1 - (1/15)^2)

Primeiro vejamos que:

$1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$

E

$x^2 - 1^2 = (x + 1) . (x - 1)$

Então

$1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2} = \frac{(x + 1).(x - 1)}{x^2}$

Agora nós queremos o produto de dessa fórmula indo de x = 2 até um n qualquer

Vamos fazer o teste:

$\frac{(2 + 1).(2 - 1)}{2^2}.\frac{(3 + 1).(3 - 1)}{3^2}...\frac{(n + 1).(n - 1)}{n^2}$

Daqui temos

$\frac{(3).(1)}{2^2}.\frac{(4).(2)}{3^2}...\frac{(n + 1).(n - 1)}{n^2}$

Se nós movermos um pouco os termos teremos

$\frac{(1.2...(n-1)).(3.4...(n+1)}{(1.2...n)^2}$

$\frac{3.4...(n+1)}{1.2...(n-1).n^2}$

Cancelando os termos

$\frac{n+1}{2n}$

Agora temos uma fórmula geral para esse produto telescópico, basta substituir n pelo número que nós queremos ir, nesse caso o último termo é 1/225 = 1/15² portanto n = 15

$\frac{n+1}{2n}=\frac{15+1}{2.15}=\frac{16}{30}=\frac{8}{15}$

Answer 2

Resposta:

Agora temos uma fórmula geral para esse produto telescópico, basta substituir n pelo número que nós queremos ir, nesse caso o último termo é 1/225 = 1/15² portanto n = 15

Explicação passo-a-passo: