Question

(URCA - CE) Define-se a média geométrica (MG) de n
números positivos a1, a2, ...an, como sendo a raiz n-ésima do produto
desses n números, isto é, MG = ³√a1, a2 ... an. Qual a média geométrica
de 2, 6, 18, ... , 13 122 ?

Answer 1

$MG = \sqrt[n]{a_{1}*a_{2}*a_{3}*a_{4}*...*a_{n}}$
______________________

$2*3 = 6$
$6*3 = 18$

Como pode ver, essa sequência é uma P.G de razão 3

$a_{n}=a_{1}*q^{(n-1)}$
$a_{n}=2*3^{(n-1)}$
$13122=2*3^{(n-1)}$
$13122/2=3^{(n-1)}$
$6561=3^{(n-1)}$
$6561=3^{(n-1)}$
$3^{8}=3^{(n-1)}$

Bases iguais, iguale os expoentes:

$n - 1 = 8$
$n = 8 + 1$
$n = 9$

Fórmula de produto dos n termos de uma P.G:

$(P_{n})^{2} = (a_{1}*a_{n})^{n}$
$(P_{9})^{2}=(a_{1}*a_{9})^{9}$
$(P_{9})^{2}=(2*13122)^{9}$
$(P_{9})^{2}=26244^{9}$
$(P_{9})^{2}=26244^{8}*26244$

Raiz quadrada nos 2 lados da equação:

$\sqrt{(P_{9})^{2}} = \sqrt{26244^{8}} * \sqrt{26244}$
$P_{9}=26244^{4}*162$
_______________________

$MG = \sqrt[n]{a_{1}*a_{2}*a_{3}*a_{4}*...*a_{n}}$

Como $a_{1}*a_{2}*a_{3}*a_{4}*...*a_{n}=P_{9}=26244^{4}*162$

$MG = \sqrt[9]{26244^{4}*162}$
$MG = \sqrt[9]{(2^{2}*3^{8})^{4}*2*3^{4}}$
$MG=\sqrt[9]{2^{8}*3^{32}*2*3^{4}}$
$MG=\sqrt[9]{2^{9}*3^{36}}$
$MG=\sqrt[9]{2^{9}}* \sqrt[9]{3^{36}}$
$MG=2^{9/9}*3^{36/9}$
$MG=2^{1}*3^{4}$
$MG=2*81$
$MG=162$