Question

RECOMPENSA: 15 pontos

Gincana da Meia Noite

I) Um cabo de aço foi fixado no topo de um poste de 4m de altura, até certo ponto do solo formando um ângulo de 60° com o plano horizontal, conforme ilustrado na figura acima:
Determine o comprimento desse cabo, em metros.
a) 8√3m
b) 8√3/3cm
c) 4√3cm
d) 4√3/3cm
e) √3/3cm

Boa sorte ksksks, que os mais sábios vençam.
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Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Trigonometria no triângulo rectângulo :

Ângulo = 60°

Cateto Oposto ao ângulo ( altura do triângulo ) = 4m

Hipotenusa ( lado maior do triângulo ) = Comp.do Cabo

Perceba que com esses dados podemos usar a razão trigonometrica do seno .

Note que :

$\mathsf{\sin(\alpha)~=~\dfrac{Cateto~Oposto}{hipotenusa} }$

Substituindo vamos ter que :

$\mathsf{\sin(60\°)~=~\dfrac{4}{Com.~do~Cabo} }$

$\boxed{\mathsf{\sin(60\°)~=~\dfrac{\sqrt{3}}{2} }}}}$

$\mathsf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}~=~\dfrac{4}{Com.~do~Cabo} }$

$\mathsf{Com.~do~Cabo~=~\dfrac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}~=~4.\dfrac{2}{\sqrt{3}} }$

$\mathsf{Com.~do~Cabo~=~\dfrac{8}{\sqrt{3}} }$

Este seria o nosso resultado , mas perceba que não é saudável , dar uma resposta com um radical no denominador , por tanto devemos dar um jeito de excluir o radical sem alterar o seu sentido , para tal vamos racionalizar o denominador :

$\mathsf{\dfrac{8}{\sqrt{3}}~=~\dfrac{8}{\sqrt{3}}.\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}~=~\dfrac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3^2}} }$

$\mathsf{\dfrac{8}{\sqrt{3}}~=~\dfrac{8\sqrt{3}}{|3|} }$

$\boxed{\mathsf{\dfrac{8}{\sqrt{3}}~=~\dfrac{8\sqrt{3}}{3} }}}}$

Por tanto podemos dizer que o comprimento do cabo vale :

$\mathsf{\red{Com.~do~cabo~=~\dfrac{8\sqrt{3}}{3} } }$

Alternativa B

Espero ter ajudado bastante!)