Question

Antiderivada de : (4x³+7x²+8x+2) dx

Answer 1

Seja f uma função definida em um intervalo I. Uma antiderivada de f em I é uma função F tal que $\mathsf{F^{\prime}(x) = f(x)}$ para todo x pertencente ao intervalo I.

Queremos determinar uma antiderivada de $\mathsf{4x^3+7x^2+8x+2}.$

Note que a função $\mathsf{x^4+\dfrac{7}{3}x^3+ 4x^2+2x}$ é uma antiderivada de $\mathsf{4x^3+7x^2+8x+2}$, pois $\mathsf{ \forall x \in \mathbb{R}}$ temos:

$\mathsf{\left( x^4+\dfrac{7}{3}x^3+ 4x^2+2x \right)^{\prime} = 4x^3+7x^2+8x+2 }.$

Além disso, qualquer função da forma $\mathsf{x^4+\dfrac{7}{3}x^3+ 4x^2+2x +C},$ sendo C uma constante real, é uma antiderivada para a função dada.

O conjunto de todas as antiderivadas de uma função f é representado por $\mathsf{\displaystyle{\int f(x) \, dx}}.$

Dessa forma, o conjunto de todas as antiderivadas de $\mathsf{4x^3+7x^2+8x+2}.$ é:

$\mathsf{\displaystyle\int (4x^3+7x^2+8x+2) \, dx = x^4+\dfrac{7}{3}x^3+ 4x^2+2x +C}$