(OBM) Dizemos que dois ou mais números são irmãos quando têm exatamente os mesmos
fatores primos. Por exemplo, os números 10 = 2.5 e 20 = 22.5 são irmãos, pois têm 2 e 5
como seus únicos fatores primos. O número 60 tem quantos irmãos maiores que zero
e menores que 1 000?
Sugestão: use a forma fatorada do número 60.
Respostas
Você pode verificar os expoentes dos fatores primos do 60...
60 | 2
30 | 2
15 | 5
3 | 3
1
____________
2² . 3 . 5
Então, você pega esses números e utiliza o princípio fundamental da contagem para determinar quantas possibilidades existe.
Primeiro você deve colocar o máximo que todos os expoentes chegam antes de chegar a 1000.
2¹ . 3¹ . 5¹ = 30.
2² . 3² . 5² = 900
2³ . 3³ . 5³ = 27000 ultrapassou
Dessa forma, o máximo dos expoentes será todos ².
Então, você faz:
_ _ _
Na primeira posição, pode ir os expoentes do 1 ao 2 (2 possibilidades)
2 _ _
Na segunda posição, pode ir os expoentes do 1 ao 2 (2 possibilidades)
2 2 _
Na terceira posição, pode ir os expoentes do 1 ao 2 (2 possibilidades)
2 2 2
Agora, basta multiplicar:
2³ = 8
8 possibilidades.
Perceba, contudo, que o 60 está incluído nessa conta.
Então:
8 - 1 = 7
Resposta: 7 números
_________________________________
Fiz um programinha em Python para mostrar esses números em questão. Imagem em anexo.
