Question

qual é a parte real do número complexo z=a+bi, com a e b reais e a>0 e b>0, cujo quadrado é -5+12i?

Answer 1

Resposta:

a = 2

Explicação passo-a-passo:

Temos que:

$z^2 = -5 + 12i\\(a + bi)^2 = -5 + 12i\\a^2 + 2abi + b^2i^2 = -5 + 12i$

Lembrando que $i^2 = -1$, temos:

$a^2 - 2abi - b^2 = -5 +12i$

Agora, devemos agrupar os termos reais e os termos imaginários e compará-los, formando um sistema:

$(a^2 - b^2) + (2ab) i = -5 + 12i\\\\\left \{ {{a^2 - b^2 = -5} \atop {2ab = 12}} \right.$

Vamos resolver substituindo:

$2ab = 12--> b = 6/a\\a^2 - \left(\dfrac{6}{a}\right)^2 = - 5\\a^2 - \dfrac{36}{a^2} = -5\\a^4 + 5a^2 - 36 = 0$

Podemos então fatorar a equação (Bháskara também funciona):

$(a^2 + 9)(a^2-4) = 0$

A primeira parte nos da $a^2 = -9$, mas sabemos que $a$ é um número real, logo seu quadrado nunca será negativo.

A segunda parte pode ser fatorada novamente:

$(a+2)(a-2) = 0$

Como temos a restrição que $a > 0$, então $a = 2$.

Não é preciso descobrir b, pois $a$ já é a parte real de z.