Question

Uma lata cilindrica, com um volume de 24π centimetros cúbicos. O preço do material usado para o fundo e a tampa da lata é de 3 centavos por centímetros quadrados e o preço do material usado da lata é 2 centavos por centímetros quadrado. Expresse o custo do material necessário para construir uma lata, em função do raio.

Answer 1

Utilizand orelação de volume e área de cilindro, temos que esta é a formula que nos da o preço em reais medindo o raio em centimentos: $P=0,06.\pi.R^2+\frac{0,96\pi}{R}$

Explicação passo-a-passo:

Sabemos que o volume de cilindro se calculo por meio da formula:

$V=\pi.R^2.H$

Onde R é o raio e H a altura.

E sabemos que área de tampa é somente área de circulo que se calculo por:

$A_t=\pi.R^2$

E por sua vez a área lateral é calculada por:

$A_l=2.\pi.R.H$

Sabemos que o volume já foi dito, então:

$24\pi=\pi.R^2.H$

$24=R^2.H$

$H=\frac{24}{R^2}$

E assim encontrarmos com isso uma formula para a altura.

A área da tampa vamos multiplicar por 0,03 reais, para transformarmos a formula de tampa em preço por centimetro quadrado:

$P_t=0,03.\pi.R^2$

E agora multiplicar por dois, pois temos a tampa e a base:

$P_t=0,06.\pi.R^2$

A área lateral vamos multiplicar por 0,02 que é o seu preço:

$P_l=0,02.2.\pi.R.H$

$P_l=0,04.\pi.R.H$

Agora vamos somar os dois preços e termos o preço total:

$P=P_t+P_l$

$P=0,06.\pi.R^2+0,04.\pi.R.H$

Mas não queremos que esta formula depende de H, então vamos substituir aquele relação que encontramos la no inicio:

$P=0,06.\pi.R^2+0,04.\pi.R.H$

$P=0,06.\pi.R^2+0,04.\pi.R.\frac{24}{R^2}$

$P=0,06.\pi.R^2+\frac{0,96\pi}{R}$

E esta é a formula que nos da o preço em reais medindo o raio em centimentos: $P=0,06.\pi.R^2+\frac{0,96\pi}{R}$