Question

Sejam K um corpo ordenado e a,b∈K. Sabendo que a∙b>0, sempre que a>0 e b>0, mostre que:
a) a∙b<0, sempre que a>0 e b<0.
b) a∙b>0, sempre que a<0 e b<0.
c) a^2>0, para todo a≠0.
d) 1>0.
e) a^(-1)>0, sempre que a>0.
f) a^(-1)b>0.

Answer 1

Resposta:

a) a.b < 0 sempre que a>0 e b<0.

PROVA:

Como b < 0, usando a definição temos o seguinte

b < 0 <=> b + (-b) < 0 + (-b) <=> 0 < -b <=> -b > 0

Sabemos que a.b > 0 sempre que a>0 e b>0. Logo, como -b > 0 e a > 0, decorre que

a.(-b) > 0

Considerando a.(-b) = -(a.b)*, temos

a.(-b) = -(a.b) > 0

Somando a.b a ambos os lados da desigualdade, segue que

-(a.b) > 0 <=> -(a.b) + a.b > 0 + a.b <=> 0 > a.b <=> a.b < 0

C.Q.D

* Essa sentença também pode ser demonstrada.

Os demais itens são análogos