Considere a inequação 1/x−1 ≤ x − 1.
Resolva a inequação 1/x−1 ≤ x− 1, isto é, encontre os valores reais de x que satisfazem a inequação.
Dê a resposta em forma de intervalo ou união de intervalos disjuntos (intervalos disjuntos não têm pontos em comum). Deixe escritas aqui, as contas que você fez para chegar na sua solução.
Respostas
Tomemos a inequação 1/x−1 ≤ x − 1.
Assim, temos que 1/x-1 + 1 - x ≤ 0. Logo, 1 + 1(x-1) - x(x-1)/ x-1 ⇒ 1 + x - 1 - x² + x / x-1 ⇒ - x² + 2x / x-1 ≤ 0.
Agora podemos fatorar isso: - x (x - 2) / x - 1 ≤ 0 e podemos inverter a desigualdade multiplicando por (-1) em cada lado.
x (x - 2) / x - 1 ≥ 0
Por fim, podemos fazer uma tabela de análise de sinal, observando os zeros das equações.
x (x - 2) têm dois zeros: 0 e 2. x - 1 tem 1 como zero.
Do intervalo x < 0, x será negativo, assim como x - 2 e x - 1.
No intervalo x = 0, x será 0, x - 2 negativo e x -1 negativos. Também, 0 < x < 1 terá x positivo, x - 2 negativo e x - 1 também.
Se x = 1, x será positivo, x - 2 negativo e x - 1 será zero.
Se 1 < x < 2, x será positivo, x - 2 negativo e x - 1 positivo.
Se x = 2, x será positivo, x - 2 = 0 e x - 1 positivo.
Se 2 < x, tudo será positivo.
Nossa condição é que a fração do produto entre x e x - 2 e x - 1 seja maior que ou igual a zero. Por isso, ao analisarmos o sinal de x(x-2)/x-1, temos que isso será maior que ou igual a zero se e somente se
x = 0 ou 0<x<1 ou x=2 ou x>2
Em termos de conjuntos, o conjunto solução da inequação será: [0, 1) ∪ [2, ∞).