Question

Dados os pontos A = (1, −3) e B = (4, 1). Determine as coordenadas do ponto
C tais que o vetor ~u = −→AC é perpendicular ao vetor ~v = −→AB tal que k ~u k= 10.

Answer 1

O ponto C pode ser igual a C = (-7,3) ou C = (9,-9).

Vamos considerar que C = (x,y).

Sendo A = (1,-3), então o vetor AC é igual a:

u = (x,y) - (1,-3)

u = (x - 1, y + 3).

Já o vetor AB, com B = (4,1), é igual a:

v = (4,1) - (1,-3)

v = (4 - 1, 1 + 3)

v = (3,4).

Temos a informação de que u e v são perpendiculares. Isso significa que o produto interno é igual a zero.

Então:

<u,v> = 0

3(x - 1) + 4(y + 3) = 0

3x - 3 + 4y + 12 = 0

3x + 4y = -9.

Também sabemos que a norma do vetor u é igual a 10, ou seja:

(x - 1)² + (y + 3)² = 10²

x² - 2x + 1 + y² + 6x + 9 = 100

x² - 2x + y² + 6x = 90.

Da equação 3x + 4y = -9, podemos dizer que:

4y = -9 - 3x

y = (-9 - 3x)/4.

Sendo assim:

x² - 2x + ((-9 - 3x)/4)² + 6((-9 - 3x)/4) = 90

25x²/16 - 25x/8 - 1575/16 = 0.

Resolvendo essa equação do segundo grau, obtemos dois valores para x: -7 e 9.

Se x = -7, então:

y = (-9 - 3(-7))/4

y = 3.

Assim, C = (-7,3).

Se x = 9, então:

y = (-9 - 3.9)/4

y = -9.

Assim, C = (9,-9).