Question

Seja A um anel tal que x² = x para todo x ∈ A. Mostre que −x = x para todo x ∈ A.

Answer 1

Considere $\mathsf{x\in A}$. Vamos calcular e desenvolver $\mathsf{(x+x)^2}$:

$\mathsf{(x+x)^2= x +x}\\\mathsf{x^2+x^2+x^2+x^2=x+x}\\\mathsf{x+x+x+x=x+x}$

Como A é um anel, então existe o simétrico de (x + x) em relação à operação de adição, representado por -(x + x). Vamos somar esse elemento a ambos os membros da igualdade acima. Daí:

$\mathsf{x+x+x+x=x+x}\\\mathsf{x+x+x+x-(x+x)=x+x-(x+x)}\\\mathsf{x+x+\cancel{x}+\cancel{x}-\cancel{x}-\cancel{x}=0}\\\mathsf{x+x=0}\implies\mathsf{x=-x}$

Portanto, $\mathsf{x=-x,\;\forall\,x\in\,A.}$