Question

Qual dos conjuntos I é o ideal de R?


a) I = Z

b) I = Q

c) I = R - Q

d) I = {0}

e) I = Q[$\sqrt{2}}] = { {a + \frac{b\sqrt{2} }{a}; a, b$ ∈ Q}

Answer 1

A Alternativa correta é a letra d) I={0}

Seja o anel (R,+,*) e seja (R,+) o grupo aditivo deste anel.

O subconjunto I será ideal deste anel se for um subgrupo aditivo do anel que possa ser "multiplicado à esquerda" por qualquer elemento deste anel.

Ou seja, precisa obedecer às propriedades:

1) (I,+) é subgrupo de (R,+)

2) para todo r$\in$R e x$\in$I, r*x $\in$I.

Portanto podemos ver que obviamente as letras a) b) e c) estão erradas.

Em a) e b) basta multiplicar um irracional à esquerda e saímos do subgrupo.

em c), basta multiplicar o inverso do mesmo racional (por exemplo $\frac{1}{\sqrt2}*\sqrt{2}=1$

d) está correto porque zero vezes qualquer coisa será sempre zero

Answer 2

Qual dos conjuntos I é o ideal de $\mathbb{R}$?

a) I = $\mathbb{Z}$

b) I = $\mathbb{Q}$

c) I = $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$

d) I = {0}

e) I = $\mathbb{Q}[\sqrt{2}] = \left\{a + \frac{b\sqrt{2}}{a}: a, b \in \mathbb{Q}\right\}$

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O que é um ideal?

Um ideal de um anel A é um subconjunto não vazio de A tal que:

• $\mathsf{\forall\,a,b \in I: a-b \in I}$;
• $\mathsf{\forall\,a \in A,\,\forall\,r\in I: ar \in I\textsf{ e }ra \in I}.$

A pergunta dessa tarefa quer saber quais dos conjuntos apresentados é um ideal de $\mathbb{R}.$ Uma forma de resolver essa questão é verificar se os conjuntos dados em cada alternativa possui as duas prioridades citadas anteriormente. Uma outra forma consiste no conhecimento da seguinte proposição:

Proposição: Se K é um corpo, então os únicos ideais de K são {0} e K, ou seja, os ideais triviais.

Vamos provar essa proposição. Mas antes vejamos o lema a seguir:

Lema: Seja I é um ideal de um anel A. Se I contém algum elemento inversível de A, então I = A.

Prova: Suponha que $\mathsf{u \in I}$ é algum elemento inversível de A. Dessa maneira, $\mathsf{\exists\, u^{-1}}$ tal que $\mathsf{u \cdot u^{-1} = 1 \in I}.$ Além disso, para qualquer $\mathsf{a \in A},$ temos $\mathsf{a = 1 \cdot a \in I}.$ Portanto, $\mathsf{I=A}. \quad\blacksquare$

Agora, provemos a proposição.

Prova da proposição: Suponha que $\mathsf{I\neq \{0\}}$ é um ideal do corpo K. Assuma que $\mathsf{a \in I}$. Sendo K um corpo, então a é inversível. Desse modo, pelo lema apresentado segue que I = K. Portanto, os únicos ideais de um corpo são os triviais. $\quad\blacksquare$

O conjunto dos números reais é um corpo, ou seja, um anel com unidade em que cada elemento não nulo possui um inverso multiplicativo. Então pela proposição demonstrada segue que os únicos ideais de $\mathbb{R}$ são {0} e $\mathbb{R}.$

Logo, a alternativa correta é a letra D.

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Veja mais uma questão sobre álgebra abstrata no link a seguir:

https://brainly.com.br/tarefa/24993670