Question

Em 8 de julho de 1714, durante o reinado da rainha Anne, foi promulgado, na Inglaterra, o Longitude Act, que oferecia prêmios de até £ 20 000 (equivalentes a 12 milhões de dólares atuais) a quem desenvolvesse um método capaz de determinar com precisão a longitude de um navio. A determinação imprecisa da longitude havia levado ao naufrágio muitos navios ingleses que, ao retornarem das colônias da América, acreditavam-se mais longe da costa da Inglaterra e acabavam por colidir com rochedos. A perda de um único desses navios cobria de longe o valor do prêmio. Vários cientistas, incluindo Isaac Newton e Galileu Galilei, dedicaram-se a essa questão, mas foi o relojoeiro John Harrison o vencedor do concurso. Ele desenvolveu um cronômetro muito preciso, permitindo o cálculo da longitude pela comparação da hora medida no relógio com a hora celeste local, obtida da posição do Sol ou das estrelas. Entre as contribuições de Harrison para a ciência da relojoaria, está a invenção, em 1725, da grelha, que mantém constante o comprimento do pêndulo nos relógios desse tipo. Sabe-se que o período (T) de um pêndulo simples obedece à relação, em que (L) representa o comprimento do pêndulo e (g) a aceleração da gravidade, portanto, em um dia quente, a dilatação do pêndulo torna o período maior, fazendo que o relógio atrase. A figura representa o esquema de uma grelha, mostrando como os diferentes coeficientes de dilatação do aço (desenhado em branco) e do latão (desenhado em preto) são compensados, de modo que a distância do peso ao eixo de oscilação seja constante. O latão, com coeficiente linear αlatão = 3,0 10–5 K–1, tende a elevar o peso, encurtando o pêndulo, enquanto o aço, αaço = 1,0 10–5 K–1, tem efeito contrário. Qual deve ser o valor de L, em centímetro, sabendo que L’=16 cm, para que o período do pêndulo não se altere? *

Imagem sem legenda

a) 22

b) 25

c) 30

d) 32

e) 35

Answer 1

O valor do comprimento de L deve ser 41,6 cm.

O pêndulo de Harrison (Gridiron Pendulum) foi descrito no enunciado. Nele, conforme a figura da questão, todas as hastes se expandem quando aquecidas. Contudo, por serem de materiais diferentes, elas se compensam, de modo que a posição do peso do pêndulo seja a mesma, independente da temperatura.

Para que isso ocorra, todas as barras devem dilatar igualmente. Ou seja, sua variação de comprimento deve ser a mesma. Vamos trabalhar com essas igualdades para encontrar o valor de L. Eu anexei uma figura extra, com todas as variáveis que vamos utilizar na resolução.

A expansão linear de um material é dada por:

$\Delta L = L_o\alpha \Delta T$

Igualando as expansões das barras externas (de aço) com as barras do meio (de latão), teremos:

$\Delta L_{extremidade} = \Delta L_{meio}\\\\L_{o}_{extremidade}\alpha _{aco}\Delta T = L_o_{meio}\alpha _{latao}\Delta T$

Como ambas as barras sofreram a mesma variação de temperatura, podemos cancelar esse termo em ambos os lados. Além disso, pela figura que eu anexei, vamos substituir os comprimentos iniciais de cada barra:

$(L' + x)\alpha _{aco} = L'\alpha _{latao}\\\\(16 + x)1*10^{-5} = 16*1,8*10^{-5}\\\\16 + x = 28,8\\\\x = 28,8 - 16 = 12,8 cm$

Agora vamos igualar as expansões lineares das barras do meio (latão) com a barra central presa diretamente no peso (aço):

$\Delta L_{meio} = \Delta L_{central}\\\\L_o_{meio}\alpha _{latao}\Delta T = L_o_{central}\alpha _{aco}\Delta T\\\\L'\alpha _{latao} = w\alpha _{aco}\\\\16*1,8*10^{-5} = w*1*10^{-5}\\\\w = 28,8 cm$

Logo L será:

L = w + x = 12,8 + 28,8 = 41,6 cm

Pode verificar se as alternativas estão corretas? Acredito que deva haver algum erro na questão.

Vale ressaltar que o coeficiente de dilatação correto do latão é de 1,8*10-5 K-1.

Você pode aprender mais sobre Termodinâmica aqui: https://brainly.com.br/tarefa/3809773

Answer 2

Resposta:

a resposta é a letra d) 32

Explicação:

- São seis hastes. Da direita pra esquerda: uma branca, uma preta, uma branca, uma branca, uma preta, uma branca.

- Mas só vamos utilizar três delas, da direita pra esquerda: uma branca, uma preta e uma branca.

- a dilatação linear da haste preta, tem que ser igual a dilatação linear das duas hastes brancas (lembrando que são as primeiras da direita pra esquerda)

- temos que achar o comprimento de cada haste

- a primeira haste branca da direita pra esquerda

     comprimento $h_{1} = L' + x$

esse "x" aí é um pedaço que tá faltando pra completar o comprimento e que a figura não mostra quanto vale

- a segunda haste, a haste preta (da direita pra esquerda)

     comprimento $h_{2} = L'$

- a terceira haste, a haste branca (da direita pra esquerda)

     comprimento $h_{3} = L - x$

Assim, temos (entendam esse D como sendo delta) as dilatações de cada haste dessa forma:

 

                   $h_{1}= ( L' + x ) * 10 ^{-5} * Dt\\h_{2} = L' * 3*10^{-5} * Dt\\h_{3} = ( L - x ) * 10^{-5} * Dt$

   

Agora basta igualar   $h_{2}=h_{1}+h_{3}$

      $L' * 3*10^{-5} * Dt = ( L' + x ) * 10^{-5} * Dt + ( L - x ) * 10^{-5} * Dt$

Podemos cancelar os valores que são iguais nos dois lados, ou seja ($Dt$ e $10^{-5}$), ficando dessa forma

    $L' * 3 = ( L' + x ) + ( L - x )$

Daí já tá fácil, L' = 16 cm, substituindo temos:

$16*3=16+x+L-x\\48=16+L\\L=48-16\\L=32$

Portanto a resposta correta é a letra D) 32

Beleza? Acho q é isso. Deu um trabalhinho mesmo