Question

O último digito de 3^2001-2^2001 vale:
(A) 1
(B) 3
(C) 5
(D) 7
(E) 9​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

As primeiras potências de 3 e 2:

2 = 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,...

3 = 3, 9, 27, 81, 243, 729,...

Há uma repetição dos últimos algarismos nas duas sequências de 4 em 4:

2 = 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6,...

3 = 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1,...

Como 2001 é (500 x 4) + 1:

3^2001 = ...3

2^2001 = ...2

Assim, 3^2001-2^2001 = ...3 - ...2 = ...1

Alternativa a)

Answer 2

Resposta:

(A) 1

Explicação passo-a-passo:

3^2 ≡ (- 1) mod(10)

(3^2)^1000 ≡ (- 1)^1000 mod(10)

3^2000 ≡ 1 mod(10)

3^2000 . 3^1 ≡ 3^1 mod(10)

3^(2000 + 1) ≡ 3 mod(10)

3^2001 ≡ 3 mod(10)

2^5 ≡ 2 mod(10)

(2^5)^5 ≡ 2^5 ≡ 2 mod(10)

2^25 ≡ 2 mod(10)

(2^25)^4 ≡ 2^4 ≡ 6 mod(10)

2^100 ≡ 2^4 ≡ 6 mod(10)

(2^25)^25 ≡ 2^25 ≡ 2 mod(10)

2^625 ≡ 2 mod(10)

(2^625)^3 ≡ 2^3 ≡ (- 2) mod(10)

2^1875 ≡ (- 2) mod(10)

2^1875 . (2^25)^≡ (- 2) . 2 mod(10)

2^1900 ≡ (- 4) mod(10)

2^1900 . 2^100 . 2^1 ≡ (- 4) . 6 . 2 mod(10)

2^(1900 + 100 + 1) ≡ (- 48) ≡ 2 mod(10)

2^2001 ≡ 2 mod(10)

Então:

3^2001 - 2^2001 ≡ 3 - 2 mod(10)

3^2001 - 2^2001 ≡ 1 mod(10)