Question

Resolva os seguinte exercícios de Funções Derivadas !

d) y=(x - 3)(2x - x^3)(1 - x)

e) l(x)= -x^3+4x/√x-3

f) y= (-x^2 + 4x - 1)(3^√x - x^3)2

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

d) Temos:

y = (x-3) (2x - $x^{3}$) (1-x)

Note que, dessa vez, temos o produto entre 3 funções.

Vamos chamar:

u = (x-3)

v = (2x - $x^{3}$)

w = (1-x)

Veja, quando:

y = uvw

y' = u' v w + u v' w + u v w'

No nosso problema, podemos escrever:

y' = (x-3)' (2x - $x^{3}$) (1-x) + (x-3) (2x - $x^{3}$)' (1-x) + (x-3) (2x - $x^{3}$) (1-x)'

Sabemos que:

(x-3)' = 1

(2x - x³)' = (2 - 3x²)

(1 - x)' = - 1

Então:

y' = 1 (2x - $x^{3}$) (1-x) + (x-3) (2 - 3x²) (1-x) + (x-3) (2x - $x^{3}$) (-1)

y' = (2x - 2x²- $x^{3}$ + $x^{4}$) +  (2x - 3$x^{3}$ - 6 + 9x²) (1-x) + (2x² - $x^{4}$ - 6x - 3x³) (-1)

y' = (2x - 2x²- $x^{3}$ + $x^{4}$) +  (2x - 3$x^{3}$ - 6 + 9x² -2x² +3$x^{4}$ +6x -9x³) + (-2x² + $x^{4}$ + 6x + 3x³)

y' = (2x - 2x²- $x^{3}$ + $x^{4}$)  +  ( - 12$x^{3}$ - 6 + 7x² +3$x^{4}$ +8x) +  (-2x² + $x^{4}$ + 6x + 3x³)

y' = 2x - 2x²- $x^{3}$ + $x^{4}$ - 12$x^{3}$ - 6 + 7x² +3$x^{4}$ +8x -2x² + $x^{4}$ + 6x + 3x³

Vamos organizar só para ter certeza de unir os termos comuns corretamente:

y' = $x^{4}$ + 3$x^{4}$ + $x^{4}$ - x³ - 12x³ + 3x³ -2x² + 7x² -2x² +2x +8x +6x - 6

y' = 5$x^{4}$ - 10x³ + 3x² + 16x - 6

e) Basicamente, vamos utilizar a regra do quociente:

y = u / v

Em que u representa a função do numerador e v representa a função do denominador.

y' = $\frac{v u' - u v'}{v^{2} }$

Chamando:

u = -x³ + 4x

v = $\sqrt{x}$ - 3

Temos:

l'(x) = $\frac{(\sqrt{x} - 3) * (-x^{3} + 4x)' - (-x^{3} + 4x) *(\sqrt{x} - 3)' }{(\sqrt{x} - 3) ^{2} }$

Sabendo que:

• (-x³ + 4x)' = (-3x² + 4)

• ($\sqrt{x}$ - 3)' = ($x^{\frac{1}{2} }$ - 3)' = 1/2 * $x^{\frac{1}{2} - 1 }$ = 1/2 * $x^{\frac{-1}{2} }$ = 1/2 * $\frac{1}{x^{\frac{1}{2} } }$ = 1/2 * $\frac{1}{\sqrt{x} }$ = $\frac{1}{2\sqrt{x} }$

• ($\sqrt{x}$ - 3)² = x - 6$\sqrt{x}$ + 9

Então:

l'(x) = $\frac{(\sqrt{x} - 3) * (-3x^{2} + 4) - (-x^{3} + 4x) *(\frac{1}{2\sqrt{x} } ) }{x - 6\sqrt{x} +9 }$

A partir desse ponto, acabou a parte de derivada. É só multiplicar, depois subtrair. Vou deixar essa parte para você terminar, já que já fiz no item anterior, ok? Qualquer dúvida, me avise!

f) Vamos utilizar regra do produto:

Obs: A constante, em um produto de derivadas, continua lá good vibes, ok? Depois multiplicamos o resultado por ela :)

y = u * v

y' = u * v' + v * u'

Chamando:

u = (-x² + 4x - 1)

v = ($\sqrt[3]{x}$ -x³)

Aplicando a regra:

y' = 2 * [(-x² +4x -1) *  ($\sqrt[3]{x}$ -x³)' +  ($\sqrt[3]{x}$ -x³) * (-x² + 4x - 1)']

Sabendo que:

• ($\sqrt[3]{x}$ -x³)' = ($x^{\frac{1}{3} }$ -x³)'  = 1/3 * $x^{\frac{1}{3} - 1 }$ - 3x² = 1/3 *  $x^{\frac{-2}{3} }$ - 3x² = 1/3 * $\frac{1}{x^{\frac{2}{3} } }$ -3x²

= 1/3 * $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2} } }$ -3x² = $\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2} } }$ - 3x²

• (-x² + 4x -1)' = -2x + 4

Então:

y' = 2 * [(-x² +4x -1) *  ( $\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2} } }$ - 3x²) +  ($\sqrt[3]{x}$ -x³) * (-2x + 4)]

A partir desse ponto, acabou a parte de derivada. É só multiplicar, depois somar e multiplicar o resultado por 2. Vou deixar essa parte para você terminar, já que já fiz no primeiro item ok? Qualquer dúvida, me avise!