CÁLCULO DO VOLUME OCUPADO PELO MUSEU DE ARTE CONTEMPORÂNEA -
a) Calcule o volume ocupado pelo museu em m³, utilizando as técnicas de integração para tal. As equações que delimitam a estrutura são:
Telhado:x²+y²+z²=81
Paredes:x²+y²=7z-14
Pilar de Sustentação:(z²+2)/5=x²+y² delimitado pelos planos z=0 e z =3
Calcule o volume ocupado pelo museu em m³, utilizando as técnicas de integração para tal.
Respostas
O volume será de de 377.2 m³.
Primeiramente vamos calcular a integral do pilar que se assemelha a uma hiperboloide de revolução:
dVpilar = pi*r²*dz
dVpilar = pi*f(z)²dz
Vpilar = pi*∫³ f(z)²dz
f(z) = √(z² + 2)/5 (para x=0)
Vpilar = pi*∫((z² + 2)/5)dz [no intervalo de z=0 até z=3]
Vpilar = pi*3 =3*pi m³ = 9.4 m³
Para saber a altura em que a parede e o telhado se encontram vamos fazer a igualdade:
x²+y²=7z-14
x²+y²+z²=81
81-z² = 7z-14
z² + 7z - 95 = 0
z = 6.856 metros
Agora, vamos calcular o volume total ocupado nas paredes do MAC utilizando as mesmas técnicas de cálculo do volume de revolução em uma parábola em torno de z:
dVparede = pi*f(z)²dz
f(z)=√7z-14 (para x=0)
Vparede = pi*∫7z-14 dz
Vparede = pi*∫7z-14 dz [no intervalo de z=3 até z=6.856]
Vparede = 79*pi m³ = 248.2 m³
Por fim, podemos calcular o volume do telhado através de uma equação simples de topo de esfera, considerando que z varia no intervalo de [6.856,topo da esfera]:
Vtelhado = Vparcial da esfera = 1/3 * pi*h²(3R - h)
R = √81 = 9 m
h = 2.14 m (altura entre 6.856 e o topo da esfera)
Vtelhado = 119.6 m³
Vtotal = 9.4 + 248.2 + 119.6 = 377.2 m³
Logo, o volume ocupado pelo Museu de Arte Contemporânea será de 377.2 m³.
Espero ter ajudado!