Question

QUESTÃO 1 Seja um plano definido pela função z = x + 2y, em relação a essa função pede-se: ​a) Sua interseção com o plano xz; b) Sua interseção com o plano yz; c) Qual superfície o gráfico dessa função gerará; d) Determine o valor da integral.

Answer 1

A interseção é a reta (t,0,t); A interseção é a reta (0,t,2t); A superfície é um plano; O valor da integral é 11/2.

a) O plano xz é o plano y = 0. Substituindo esse valor em z = x + 2y, obtemos:

z = x + 2.0

z = x.

Considerando x = z = t, temos que a interseção será a reta cujas equações paramétricas são:

{x = t

{y = 0

{z = t.

b) O plano yz é o plano x = 0. Substituindo esse valor em z = x + 2y, obtemos:

z = 0 + 2y

z = 2y.

Considerando y = t, obtemos z = 2t. Assim, a interseção será a reta:

{x = 0

{y = t

{z = 2t.

c) A superfície da função z = x + 2y é um plano.

d) Calculando a integral dupla abaixo, obtemos:

$\int\limits^2_1 \int\limits^3_2 {x+2y} \, dx dy=\int\limits^2_1 {\frac{x^2}{2}+2xy} \, dy$

Substituindo os limites de integração de x:

$\int\limits^2_1 \int\limits^3_1 {x+2y} \, dxdy = \int\limits^2_1 {2y + \frac{5}{2}} \, dy$

$\int\limits^2_1 \int\limits^3_1 {x+2y} \, dxdy =y^2+\frac{5y}{2}$

Substituindo os limites de integração de y:

$\int\limits^2_1 \int\limits^3_1 {x+2y} \, dxdy =\frac{11}{2}$.