Question

Os três inteiros positivos a, b e c satisfazem 4a.5b.6c = 8⁸.9⁹.10¹⁰. Determine o valor de a+b+c.

Answer 1

O valor de a + b + c será de 36.

O enunciado pede: $4^a*5^b*6^c = 8^8*9^9*10^{10}$. Para satisfazer a condição, vamos fatorar os números e utilizar as propriedades de potência. Utilizando as propriedades de soma e multiplicativas, temos:

$8^8 * 9^9*10^{10} = (2^3)^8 *(3^2)^9*(2*5)^{10}$

$8^8 * 9^9*10^{10} = (2*4)^{8} *(3^9*3^9)*(2^{10}*5^{10})$

$8^8 * 9^9*10^{10} = (2^8*4^8) *(3^{10}*3^8)*(2^{10}*5^{10})$

$8^8 * 9^9*10^{10} = 4^8 *5^{10}*(3^{10}*2^{10})*(2^8*3^8)$

$8^8 * 9^9*10^{10} = 4^8 *5^{10}*6^{10}*6^8$

$8^8 * 9^9*10^{10} = 4^8 *5^{10}*6^{18}$

Por semelhança com a equação que define a, b e c, temos que a = 8, b = 10 e c = 18. Logo, a soma pedida será de 8 + 10 + 18 = 36. O valor de a + b + c será de 36.

Espero ter ajudado!