Question

Considere a func¸ ˜ao cont´ınua f(x) = x3 x2 4 sen(x) + 1, x 2 R. Utilize o Teorema do
Valor Intermedi´ario para verificar que f admite 3 ra´ızes reais e distintas.

Answer 1

Seja a equação $x^3 -x^2- 4*sen(x) + 1$ (ver o gráfico em anexo).

O teorema do valor intermediário vai determinar a existência de uma raiz para uma função contínua somente se para cada (suposta) raiz "x", existirem 2 pontos "a" e "b" tais que a<x<b com f(x)=0 dentro do intervalo [f(a), f(b)].

Observe no gráfico que existe um ponto de máximo e outro de mínimo na função.

Além disso, os pontos onde $x\rightarrow -\infty$ tendem para $-infty$ e os pontos onde $x\rightarrow \infty$ tendem para $infty$.

portanto podemos tomar pontos específicos para criar o intervalo em torno das raízes:

intervalo 1: x= $[-\frac{\pi}{2},0]$

para x=$[-\frac{\pi}{2}$ teremos

$(-\frac{\pi}{2})^3 -(-\frac{\pi}{2})^2- 4*sen(-\frac{\pi}{2}) + 1$

$-\frac{\pi^3}{8} -\frac{\pi^2}{4}+ 5 =1,34318...$

para x=0 teremos

$0^3 -0^2- 4*sen(0) + 1 =1$

Portanto, pelo TVI, podemos afirmar que existe raiz no intervalo

x= $[-\frac{\pi}{2},0]$

por que $f(-\frac{\pi}{2})<0<f(0)$

Procedemos da mesma forma calculando os extemos do

intervalo 2: x= $[0,\frac{\pi}{2}]$

para x=0 teremos

$f(0)=1$

para x=$[\frac{\pi}{2}$ teremos

$(-\frac{\pi}{2})^3 -(-\frac{\pi}{2})^2- 4*sen(-\frac{\pi}{2}) + 1$

$\frac{\pi^3}{8} -\frac{\pi^2}{4}-3 =-1,591...$

Portanto, pelo TVI, podemos afirmar que existe raiz no intervalo

x= $[0,\frac{\pi}{2}]$

por que $f(0)<0<f(-\frac{\pi}{2})$

O ultimo intervalo que falta é

intervalo 3: x= $[\frac{\pi}{2},\pi]$

E novamente veremos que  $f*(\frac{\pi}{2})<0$ e que  $f(\pi)>0$

E então usaremos o teorema para afirmar que a raíz existe neste intervalo por que a função é contínua e as extremidades do intervalo tem sinais diferentes (e é por esses dois motivos que tem que passar pelo zero)