Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada?
a) ℤ_;adição
b) ℤı;multiplicação
c) A={x ∈ | x é par}; adição
d) B={x ∈ |x é ímpar}; multiplicação
e) C={-2, -1, 0, 1, 2}; adição
f) D={1,-1}; multiplicação
Respostas
São exemplos de grupos os conjuntos (com a operação definida) nas letras a) e) e f)
a) ℤ ; adição
e) C={-2, -1, 0, 1, 2} ; adição
f) D={1,-1} ; multiplicação
Os demais conjuntos (com suas respectivas operações) não são grupos.
Para que um um par de conjunto com operação possa ser considerado um grupo, este par precisa obedecer 3 propriedades:
1) associatividade (a+b)+c=a+(b+c)
2) Elemento neutro (a+b)=(b+a)=b (pois a é neutro)
3) elemento simétrico b+b' = b'+b = a.
Com isto definido, podemos verificar quais dos pares de conjuntos e operações podemo formar grupos.
a letra a) forma grupo porque existe zero (neutro) existe simétrico (negativos) e é associativa.
O mesmo é válido para a letra e)
A letra f) também é grupo e vemos que 1 é elemento neutro, e que -1 é o inverso de 1.