Question

Determine uma equação do plano tangente a superfície no ponto específico z= raiz(4-x²-2y²) no ponto P=(1,-1,1). poderiam corrigir minha resolução e me dizer se esta certo? ver imagem

Answer 1

O plano tangente no ponto P possui a equação x - 2y + z = 4.

A equação de um plano tangente à superfície f(x) no ponto P(x0, y0, z0), é dada pela seguinte fórmula:

$z - z_0 = \frac{\partial}{\partial x} f(x_0, y_0)*(x - x_0) + \frac{\partial}{\partial y} f(x_0, y_0)*(y - y_0)$

O ponto fornecido é P(1, -1, 1). Primeiramente vamos calcular as derivadas parciais de z = f(x,y). Vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar cada uma das derivadas parciais:

$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (\sqrt{4 - x^2 - 2y^2} ) = \frac{\partial}{\partial x} (4 - x^2 - 2y^2)^{\frac{1}{2}} = \frac{-2x}{2*\sqrt{4 - x^2 - 2y^2}} \\\\\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \frac{-x}{\sqrt{4 - x^2 - 2y^2}}$

E em relação a y, teremos:

$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\sqrt{4 - x^2 - 2y^2} ) = \frac{\partial}{\partial y} (4 - x^2 - 2y^2)^{\frac{1}{2}} = \frac{-2*2y}{2*\sqrt{4 - x^2 - 2y^2}} \\\\\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = \frac{-2y}{\sqrt{4 - x^2 - 2y^2}}$

Agora vamos substituir o ponto P(1, -1, 1) nessas duas derivadas encontradas:

$\frac{\partial f(1, -1)}{\partial x} = \frac{-1}{\sqrt{4 - 1^2 - 2*(-1)^2}} = \frac{-1}{\sqrt{4 - 1 - 2} } = -1\\\\\frac{\partial f(1, -1)}{\partial y} = \frac{-2*(-1)}{\sqrt{4 - 1^2 - 2*(-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{4 - 1 - 2} } = 2$

Substituindo tudo na equação do plano inicial, vamos ter:

$z - z_0 = \frac{\partial}{\partial x} f(x_0, y_0)*(x - x_0) + \frac{\partial}{\partial y} f(x_0, y_0)*(y - y_0)\\\\z - 1 = (-1)*(x - 1) + 2*(y + 1)\\\\z - 1 = 1 - x + 2y + 2\\\\x - 2y + z = 1 + 2 + 1\\\\x - 2y + z = 4$

Você pode aprender mais sobre Geometria Analítica aqui: https://brainly.com.br/tarefa/18196418