Question

Considere o campo de velocidades definido abaixo que determina a circulação de ar em uma região de espaço:

Estão corretas, apenas:

Alternativas
Alternativa 1:
I e II, apenas.

Alternativa 2:
I e III, apenas.

Alternativa 3:
I, II e III

Alternativa 4:
II e III

Alternativa 5:
III, apenas.

Answer 1

Utilizando propriedades de Calculo Vetorial, temos que somente a II e a III estão corretas, Alternativa 4.

Explicação passo-a-passo:

Vamos analisar cada uma das afirmativas e comenta-las:

I - A integral que representa a circulação é $\int\int_{D}1.dA$.

Falso. A circulação de um campo vetorial em uma determinada área é dada pela integral na região do rotacional deste campo, ou de forma mais simples, simplesmente utilizando o Teorema de Green na região fechada. O Teorema de Green por sua vez é dado por:

$\int_C P.dx+Q.dy=\int\int_D\left(\frac{dQ}{dx}-\frac{dP}{dy}\right).dA$

No nosso campo vetorial, estes componentes são:

$P=y$

$Q=-x$

Assim fazendo estas derivadas, temos:

$\frac{dP}{dy}=1$

$\frac{dQ}{dx}=-1$

Então a integral da criculação fica:

$\int\int_D\left(\frac{dQ}{dx}-\frac{dP}{dy}\right).dA$

$\int\int_D\left(-1-1\right).dA$

$\int\int_D -2.dA$

Ou seja, esta afirmação está incorreta.

II - A circulação é igual a $-2\pi$.

Verdadeiro. Para descobrirmos esta, basta continuarmos fazendo a conta anterior:

$\int\int_D -2.dA$

Vamos passar esta região D para coodernadas polares, pois a região D é um circulo de raio 1, ou seja, ela vai de 0 a 2π em angulo e 0 a 1 em raio:

$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} -2.r.dr.d\theta$

O "r" que aparece antes do dr é a jacobiana das coordenadas polares.

Com isso vamos resolver esta integral:

$\int_{0}^{2\pi}\left(\int_{0}^{1} -2.r.dr\right).d\theta$

$\int_{0}^{2\pi}\left(-2.\frac{r^2}{2}\right)_{0}^{1}.d\theta$

$\int_{0}^{2\pi}\left(-2.\frac{1^2}{2}\right).d\theta$

$\int_{0}^{2\pi}(-1).d\theta$

$-\int_{0}^{2\pi}.d\theta$

$-(\theta)_{0}^{2\pi}$

$-2\pi$

Assim temos que de fato esta integral tem como resultado -2π.

III - A integral que representa aárea do circulo é $\int_{0}^{2\pi}\left(\int_{0}^{1} r.dr\right).d\theta$.

Verdadeiro. Esta não é sequer necessario fazer conta, pois esta é exatamente a integral de 1 em coodenadas polares, assim como fizemos acima, porém sem o -2 que veio do Teorema de Green, logo, fica somente a integral da região, que é a própria área desta.