Question

Considere a função bijetora f(x) = 4 - 7x / (2 + x). Determine o valor da expressão f -1(3) + f(5) - f -1(5).

Answer 1

Resposta:

-289/70

Explicação passo-a-passo:

Oi! Para resolver essa questão primeiro temos que ver se a função f(x) tem inversa. Já que o próprio enunciado diz que ela é bijetora, podemos concluir que ela tem inversa,

Encontrando a inversa:

$y=\frac{4-7x}{2+x}\\\\x=\frac{4-7y}{2+y}\\\\ x(2+y)=4-7y\\\\2x+xy=4-7y\\\\xy+7y=4-2x\\\\y(x+7)=4-2x\\\\y=\frac{4-2x}{x+7}$

Portanto, $f^{-1}(x) =\frac{4-2x}{x+7}$.

Agora, só precisamos substituir os valores de x.

$f^{-1}(3)=\frac{4-2*3}{3+7}=\frac{-2}{10}=\frac{-1}{5}$

$f(5)=\frac{4-7*5}{2+5}=\frac{-31}{7}$

$f^{-1}(5)=\frac{4-2*5}{5+7}=\frac{-6}{12}=\frac{-1}{2}$

Juntando tudo:

$-\frac{1}{5}+(-\frac{31}{7})- (-\frac{1}{2})\\\\ -\frac{1}{5}-\frac{31}{7}+\frac{1}{2}\\\\ -\frac{289}{70}$

Espero ter ajudado. Qualquer dúvida pode deixar nos comentários. Bons estudos!

Answer 2

$y = \frac{4 - 7x}{x + 2} \\ xy + 2y = 4 - 7x \\ xy + 7x = 4 - 2y \\ x(y + 7) = 4 - 2y$

$x = \frac{4 - 2y}{y + 7} \\ {f}^{ - 1} (x) = \frac{4 - 2x}{x + 7}$

${f}^{ - 1}(3) = \frac{4 - 2.3}{3 + 7} = - \frac{2 \div 2}{10 \div 2} = - \frac{1}{5}$

$f(5) = \frac{4 - 7.5}{5 + 2} = - \frac{31}{7}$

${f}^{ - 1} (5) = \frac{4 - 2.5}{5 + 7} = - \frac{6}{12} = - \frac{1}{3}$

${f}^{ - 1} (3) +f(5)-{f}^{ - 1}(5) \\ = - \frac{1}{5} - \frac{31}{7} - (-\frac{1}{2})= \frac{ - 14 - 310+35}{70} \\ = - \dfrac{289}{70}$