Question

Como faço para encontrar a
área de um triângulo em que
os três pontos é três variáveis.

Exemplo:

A(1,4,9)

B(4,6,2)

C(1,4,8)

​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\mathtt{\sqrt{13}/2}}$

Explicação passo-a-passo:

Em se tratando de três variáveis, o procedimento para determinar a área é distinto daquele feito com duas variáveis. Segue,

$\displaystyle \boxed{\mathtt{A = \frac{1}{2} \cdot} \left \| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right \|}$

Isto posto, temos que:

$\\ \displaystyle \bullet \quad \mathsf{\overrightarrow{AB} = (4 - 1, 6 - 4, 2 - 9) \Rightarrow \boxed{\mathsf{\overrightarrow{AB} = (3, 2, - 7)}}} \\\\ \bullet \quad \mathsf{\overrightarrow{AC} = (1 - 1, 4 - 4, 8 - 9) \Rightarrow \boxed{\mathsf{\overrightarrow{AC} = (0, 0, - 1)}}}$

Com efeito,

$\\ \displaystyle \mathsf{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & - 7 \\ 0 & 0 & - 1 \end{pmatrix}} \\\\\\ \mathsf{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} & | & \hat{i} & \hat{j} \\ 3 & 2 & - 7 & | & 3 & 2 \\ 0 & 0 & - 1 & | & 0 & 0 \end{pmatrix}} \\\\\\ \mathsf{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = - 2\hat{i} + 3\hat{j}}$

Ademais,

$\\ \displaystyle \mathsf{\left \| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right \| = \sqrt{(- 2)^2 + 3^2}} \\\\ \mathsf{\left \| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right \| = \sqrt{4 + 9}} \\\\ \boxed{\mathsf{\left \| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right \| = \sqrt{13}}}$

Por fim, determinamos a área...

$\\ \displaystyle \mathsf{A = \frac{1}{2} \cdot \left \| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right \|} \\\\ \mathsf{A = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{13}} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{A = \frac{\sqrt{13}}{{2}}}}}$