Question

(UFSCar) Uma função f é definida recursivamente como $f( n + 1 ) = \frac{5f(n) + 2}{5}$ Sendo f(1) = 5, o valor de f(101) é:

a)     45
b)     50
c)     55
d)     60
e)     65

Answer 1

Olá, Hulk.

Precisamos investigar o comportamento desta função recursiva, de tal forma que possamos identificar, ao final, uma lei de formação.

Inicialmente, verifica-se que podemos reescrever a função da seguinte forma:

$f(n+1) = f(n) + \frac25$

Assim:

$f(1) = 5 \\\\ f(2) = f(1) + \frac25 = 5 + \frac25 \\\\ f(3) = f(2) + \frac25 = 5 + \frac25 + \frac25 = 5 + \frac45 \\\\ f(4) = f(3) + \frac25 = 5 + \frac45 + \frac25 = 5 + \frac65\\\vdots\\f(k) = 5 + \frac{2k-2}5\text{ (lei de forma\c{c}\~ao)}\\\\ \therefore f(101) = 5 + \frac{202-2}5 = 5+\frac{200}5=5+40=45$