Question

Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função $f(t)=a.2^{-bt}$ , onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes.


A)Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial (t=0) seja igual a 1024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial.

B) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a $\frac{1}{8}$ da população inicial ?

C) Esboce o gráfico da função f(t) para t ∈ [0,40]

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

a)

Sabemos que, para t = 0 temos $f(0)= 1024 = a.2^0=a => a =1024$.

Para t = 10, temos $f(10)= 512=a.2^{-10b}=> \frac{a}{2^{10b}}=512=>2^{10b} =\frac{a}{512}$.

Como  a = 1024, $2^{10b}=\frac{1024}{512}=2=>10b = 1=> b =\frac{1}{10}$

Portanto,

$a = 1024\ e\ b =\frac{1}{10}$

b)

Queremos encontrar um t, tal que

$f(t) = \frac{1}{8}\times1024=128$

Assim,

$f(t) = 128 => 128 = 1024\times2^{-\frac{1}{10}t }=>\\ \\ =>2^{10}\times2^{-\frac{1}{10}t }=2^{7}=>2^{\frac{100-t}{10} }=2^{7} => \frac{100-t}{10} =7 => \\ \\ =>100 - t = 70 => t =30$

Answer 2

Resposta:

t = 30 anos

Explicação passo a passo:

Na equação dada basta colocar 1/8 multiplicando 1024 = 1024.2-0,1t  a partir daí basta dividir e isolar a exponencial para calcular o t.