Question

Seja S = {(x, y, z) ∈ IR³/x − y + 2z = 0}. Verifique se S é um subespaço vetorial do IR³, relativamente às operações usuais de adição e multiplicação por escalar e em caso afirmativo determine uma base para S.

Answer 1

Resposta:

S é um subespaço vetorial de IR³

Explicação passo-a-passo:

x-2y+2z=0  ==>x=0+2y-2z

fazendo y=3  e z=1  ==>x=0+6-2 =4

fazendo y=4 e z=0 ==>x=0+8+0 =8

fazendo a soma (4,3,1) + (8,4,0) = (12, 7,1) , vamos ver se este ponto obedece a Lei  =+> x-2y+2z=0

(12, 7,1) ==> 12-14+2 =  0   , S é um subespaço do |R³

Answer 2

Encontrando  uma base de vetores de R³ para S, provamos que este é subespaço de R³.

Explicação passo-a-passo:

Então temos o seguinte espaço:

$S = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3/x - y + 2z = 0\}$

Assim o que define nosso espaço é a equação do plano dada por:

$x - y + 2z =0$

Ou seja, temos duas variaveis independentes e uma dependente das duas primeiras, ou seja, podemos escolher qualquer uma delas como sendo a dependente e parametrizarmos este plano, escolhi x sendo o dependente e y,z independentes:

$x = y - 2z$

$y = y$

$z = z$

Assim qualquer vetor neste espaço é defino por esta parametrização, ou seja:

$\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}y-2z\\y\\z\end{array}\right] =y\left[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right]+z\left[\begin{array}{c}-2\\0\\1\end{array}\right]$

Como y e z são parametros arbitrários reais, temos então que qualquer vetor do nosso espaço é resultado de uma combinação dos vetores (1,1,0) e (-2,0,1):

$S=\mathbb{L}\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right];\left[\begin{array}{c}-2\\0\\1\end{array}\right] \right\}$

Assim se nosso espaço possui uma base de dois vetores do R³, então ela é definitivamente um subespaço de R³.

Você pode verificar pegando qualquer vetor derivado desta combinação e fazendo soma deles e multiplicação por escalar para provar as propriedades, porém é extremamente desnecessario considerando que já encontramos uma base em R³ para este espaço;