Question

Determine o número de maneiras de selecionar, no máximo 15
brinquedos, de 4 tipos diferentes: Tipo1, Tipo2, Tipo3 e Tipo4, sendo
que devem ser selecionados pelo menos 1 do Tipo1, pelo menos 2 do
Tipo2 e pelo menos 3 do Tipo4. Justifique.
Observação: estamos supondo que cada tipo de brinquedo tem um
estoque suficiente para que o problema tenha solução.

Answer 1

temos $X\times Y\times (Y-1)\timesW \times (W-1) \times (W-2) \times \frac{(X+Y+Z+W-6)!}{(X+Y+Z+W-15)!}$ números de maneiras distintas de tomar os 15 brinquedos com as restrições dadas.

Vamos chamar de

x = qtd brinquedos tipo 1

y = qtd brinquedos tipo 2

z = qtd brinquedos tipo 3

w = qtd brinquedos tipo 4

Vamos retirar 15 brinquedos sendo 1 de x, 2 de y e 3 de w.

Para isso, vamos começar com estes 6 brinquedos pque precisam ser retirados dos tipos específicos.

Ao retirar 1 brinquedo de x, teremos X possibilidades.

Ao retirar 2 brinquedos de y teremos Y$\times$(Y-1) possibilidades

Ao retirar 3 brinquedos de w teremos W$\times$(W-1)$\times$(W-2)

portanto, apenas nesta etapa, já temos

X$\times$Y$\times$(Y-1)W$\times$(W-1)$\times$(W-2) possibilidades distintas.

Com isto, já foram retirados 6 brinquedos e falta tomar os outros 9.

x ainda tem (X-1) brinquedos

y ainda tem (Y-2) brinquedos

z ainda tem (Z) brinquedos

w ainda tem (W-3) brinquedos

Agora nós vamos poder pegar brinquedos de qualquer caixa sem restrição.

Então para o 7º brinquedo,  podemos escolher 1 entre (X+Y+Z+W-1-2-3)

Ou seja, para o 7º brinquedo podemos  escolher 1 entre (X+Y+Z+W-6)

O 8º brinquedo será escolhido entre (X+Y+Z+W-7)

E assim por diante.

Portanto do 7º brinquedo até o 15º teremos

(X+Y+Z+W-6)$\times$(X+Y+Z+W-7)

Isto pode ser escrito como $P_{7-->15}\frac{(X+Y+Z+W-6)!}{(X+Y+Z+W-15)!}$

O total de possibilidades será

$X\times Y\times (Y-1)\timesW \times (W-1) \times (W-2) \times \frac{(X+Y+Z+W-6)!}{(X+Y+Z+W-15)!}$