Question

- O movimento de amortecimento usado para reduzir o recuo em certos tipos de armas consiste essencialmente em um pistão, que está preso ao cano e pode mover-se num
cilindro fixo cheio de óleo. Quando o cano recua com uma velocidade v o , o pistão
movimenta-se e o óleo é forçado através de orifícios no pistão, provocando uma desaceleração do pistão e do cano, proporcional à sua velocidade, isto é, a = - k v. Exprimir:
a) A velocidade v em função do tempo t
b) O espaço x em função do tempo t
c) A velocidade v em função em função do espaço x
d) Esboçar as correspondentes curvas do movimento

Answer 1

$a = \frac{dv}{dt}$    e    $a=-kv$

A)

Integrando a função:

$\int_{v_0}^v{\frac{dv}{v}} = -\int_0^t{kdt}\\\\ln(v)-ln(v_0) = -kt\\\\v(t) = v_0e^{-kt}$

B)

$\int_{s_0}^{s}ds = \int_0^t{v_0e^{-kt}}dt\\\\s(t) = s_0 + v_0*(\frac{-1}{k}*e^{-kt})$

C)

$a = \frac{dv}{dt} = v*\frac{dv}{ds}$

$v\frac{dv}{ds} = -kv \rightarrow \frac{dv}{ds} = -k \rightarrow \int_{v_0}^v{dv} = \int_0^s{-kds}$

$v(s) = v_0 -ks$

D)

v(t) x t -> verde

s(t) x t -> laranja

v(s) x s -> cinza