Question

É correto afirmar o vigésimo número triangular é?
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Answer 1

Resposta:

210

Explicação passo-a-passo:

Podemos ver que os números triangulares são justamente somas dos n primeiros naturais:

1=1

3=1+2

6=1+2+3

10=1+2+3+4

E por ai vai... , logo queremos o vigésimo e seria

1+2+3+4+...+20, que podemos calcular usando a fórmula

Sn=n*(n+1)/2 colocando n=20 ou na mão mesmo , o resultado será 210.

Agora pra provar que essa formula vale (caso lhe interesse):

Vamos lá, temos que analisar o que acontece com a sequência de números.

Peguemos os mais simples.

de 1 a 3, adicionamos 2 (e ele é o 2º número)

de 3 a 6, adicionamos 3 (e ele é o 3º número)

de 6 a 10, adicionamos 4 (e ele é o 4º número)

de 10 a 15, adicionamos 5 (e ele é o 5º número)

Vemos assim que o numero que adicionamos, vai aumentando de 1 em 1. Denotemos os números triangulares como t1,t2,t3,...,tn como os números triangulares (do primeiro ao n-ésimo).

Vemos que a regra de formação é

$t_n=t_{n-1}+n$

$t_{n-1}=t_{n-2}+(n-1)$

$t_{n-2}=t_{n-3}+(n-2)$

....

$t_{3}=t_{2}+3\\t_{2}=t_{1}+2\\t_{1}=1$

Somando todas essas desigualdades, temos uma soma que vai cancelando vários termos (soma telescópica)

E temos

$t_n=1+2+3+4+...+n$

que sabemos que é a soma de P.A de razão 1, logo:

$t_n=\frac{n(n+1)}{2}$, como queremos t20:

$t_20=\frac{20*21}{2}=210$