Question

lim (x-1)÷((∛x)-1)
x->1


No gabarito tá dando a resposta 3,e no site que calcula limites que eu vi também tá dando 3,fazendo L'hopital direto sem aplicar a regra do quociente.Alguém pode me explicar por que a regra do quociente não foi aplicada?


Obs:não sei se vai ficar formatado direito então vou "traduzir": limite com x tendendo a 1 de: (x-1)/((raiz cúbica de x) - 1)

Answer 1

$\lim_{x \to 1}\dfrac{x-1}{\sqrt[3]{x}-1}$

Vamos fazer uma mudança de váriavel no limite para facilitar nosso trabalho.

$u=\sqrt[3]{x} \\ x={u}^{3} \\u\rightarrow\,1\:quando\:x\rightarrow \: 1</p><p>$

Substituindo temos

$\lim_{u \to 1}\dfrac{{u}^{3}-1}{u-1}$

Fatoração da diferença de dois cubos

$\boxed{\boxed{\mathsf{{a}^{3}-{b}^{3}=(a-b)({a}^{2}+ab+{b}^{2})}}}$

${u}^{3}-1=(u-1)({u}^{2}+u+1)$

Daí

$\lim_{u \to 1}\dfrac{{u}^{3}-1}{u-1}$

$\lim_{u \to 1}\dfrac{\cancel{(u-1)}({u}^{2}+u+1)}{\cancel{(u-1)}}$

$\lim_{u \to 1}{u}^{2}+u+1={1}^{2}+1+1\\=1+1+1=3$